Encontre d y / d x.
y=\ln \left(x^{3 / 2} \sqrt{1+x^{4}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{dy}{dx} para a função
y=\ln\!\left(x^{3/2}\sqrt{1+x^{4}}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A função é o logaritmo natural de um produto: x^{3/2} vezes \sqrt{1+x^{4}}.
  • Para que o logaritmo natural esteja definido, o argumento deve ser positivo; como \sqrt{1+x^{4}}>0 sempre, é necessário x>0. Portanto consideramos x>0.

Passo 2

Vamos usar propriedades do logaritmo para simplificar antes de derivar. Regra usada: para a>0 e b>0,
\ln(ab)=\ln a+\ln b.
Aplicando isso ao argumento do logaritmo,
y=\ln\!\left(x^{3/2}\right)+\ln\!\left(\sqrt{1+x^{4}}\right).

Passo 3

Usamos agora a propriedade do logaritmo de potência: para u>0 e constante k,
\ln(u^{k})=k\ln u.
Aplicando a cada termo:
\ln\!\left(x^{3/2}\right)=\frac{3}{2}\ln x, \qquad \ln\!\left(\sqrt{1+x^{4}}\right)=\ln\!\left((1+x^{4})^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\ln(1+x^{4}).
Portanto
y=\frac{3}{2}\ln x+\frac{1}{2}\ln(1+x^{4}).

Passo 4

Agora derivamos termo a termo. Regra usada: se y=\ln(u(x)), então pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Também usamos \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}. Derivando cada parcela:
  • Para \dfrac{3}{2}\ln x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}\ln x\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{2x}.
  • Para \dfrac{1}{2}\ln(1+x^{4}): primeiro a derivada de \ln(1+x^{4}) é \dfrac{4x^{3}}{1+x^{4}} (aplicando a regra da cadeia: derivada de 1+x^{4} é 4x^{3}), então
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln(1+x^{4})\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4x^{3}}{1+x^{4}}=\frac{2x^{3}}{1+x^{4}}.
Somando as duas parcelas,
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2x}+\frac{2x^{3}}{1+x^{4}}.

Passo 5

Vamos colocar a derivada em uma forma única e simplificada. Colocamos em denominador comum 2x(1+x^{4}):
\frac{3}{2x}=\frac{3(1+x^{4})}{2x(1+x^{4})}, \qquad \frac{2x^{3}}{1+x^{4}}=\frac{4x^{4}}{2x(1+x^{4})}.
Somando numeradores:
\frac{dy}{dx}=\frac{3(1+x^{4})+4x^{4}}{2x(1+x^{4})}=\frac{3+7x^{4}}{2x(1+x^{4})}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3+7x^{4}}{2x(1+x^{4})}

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