Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
para a função
Informações relevantes dadas:
- A função é o logaritmo natural de um produto:
vezes . - Para que o logaritmo natural esteja definido, o argumento deve ser positivo; como
sempre, é necessário . Portanto consideramos .
Passo 2
Vamos usar propriedades do logaritmo para simplificar antes de derivar. Regra usada: para
e
,
Aplicando isso ao argumento do logaritmo,
Passo 3
Usamos agora a propriedade do logaritmo de potência: para
e constante
,
Aplicando a cada termo:
Portanto
Passo 4
Agora derivamos termo a termo. Regra usada: se
, então pela regra da cadeia
Também usamos
. Derivando cada parcela:
- Para
:
- Para
: primeiro a derivada de é (aplicando a regra da cadeia: derivada de é ), então
Somando as duas parcelas,
Passo 5
Vamos colocar a derivada em uma forma única e simplificada. Colocamos em denominador comum
:
Somando numeradores: