Calcule as seguintes integrais, usando as substituições trigonométricas indicadas:
integral x raiz9-x^2 d x, x=3 sen(theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x raiz9 - x^2 , dx usando uma substituição trigonométrica. A matéria aqui envolve integrais e substituições trigonométricas. Para isso, vamos usar a substituição x = 3 sin(theta), que nos ajudará a simplificar a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar tudo em termos de theta. Se x = 3 sin(theta), então precisamos encontrar dx em termos de dtheta. Derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = 3 cos(theta) , dtheta

Passo 3

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral x raiz9 - x^2 , dx = integral 3 sin(theta) cdot raiz9 - (3 sin(theta))^2 cdot 3 cos(theta) , dtheta

Passo 4

Vamos simplificar a parte dentro da raiz:
9 - (3 sin(theta))^2 = 9 - 9 sin^2(theta) = 9(1 - sin^2(theta)) = 9 cos^2(theta)
Então, raiz9 cos^2(theta) = 3 cos(theta).

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 3 sin(theta) cdot 3 cos(theta) cdot 3 cos(theta) , dtheta = 27 integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta

Passo 6

Para resolver integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta, usamos a substituição u = cos(theta). Então, du = -sin(theta) , dtheta, ou seja, -du = sin(theta) , dtheta.

Passo 7

Substituindo na integral:
27 integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta = -27 integral u^2 , du = -27 ( u^33 ) + C = -9 u^3 + C

Passo 8

Voltando para theta, já que u = cos(theta):
-9 cos^3(theta) + C

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Sabemos que x = 3 sin(theta), então sin(theta) = x3. Usando a identidade cos(theta) = raiz1 - sin^2(theta) = raiz1 - (x3)^2 = raiz9 - x^23.

Passo 10

Substituindo cos(theta) de volta:
-9 ( raiz9 - x^23 )^3 + C = -9 cdot (9 - x^2)^3/227 + C = -(9 - x^2)^3/23 + C

Resposta

A integral integral x raiz9 - x^2 , dx é igual a -(9 - x^2)^3/23 + C.

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