Encontre d yd x das seguintes equações:
Questões sobre equações diferenciais.
sec ^2(x)+cos ^2(y)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
sec^2(x) + cos^2(y) = 1
e pede dydx. Vamos usar diferenciação implícita: derivar ambos os lados em relação a x e depois isolar dydx.

Passo 2

Derivamos termo a termo. Para sec^2(x) aplicamos a regra da cadeia: se u=sec(x), então
ddxl(u^2r)=2u,u' e u'=ddxsec(x)=sec(x)tan(x),
logo
ddxsec^2(x) =2sec(x)cdotsec(x)tan(x) =2sec^2(x)tan(x)
Para cos^2(y), lembramos que y depende de x:
ddxcos^2(y) =2cos(y)cdotddxl(cos(y)r) =2cos(y)l(-sin(y)r)dydx =-2cos(y)sin(y)dydx
A derivada de 1 é zero.

Passo 3

Reunindo as derivadas na equação:
2sec^2(x)tan(x);-;2cos(y)sin(y)dydx ;=;0
Agora basta isolar dydx.

Passo 4

Passando o termo que contém dydx para o outro lado e dividindo por 2cos(y)sin(y):
2cos(y)sin(y)dydx =2sec^2(x)tan(x) Longrightarrow dydx =2sec^2(x)tan(x)2cos(y)sin(y) =sec^2(x)tan(x)cos(y)sin(y)

Resposta

dydx =sec^2(x)tan(x)sin(y)cos(y)

Exercícios relacionados