Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^1-x d y d z d x

Passo 1

O volume dado por
integral0^1integral0^1-x^2integral0^1-xdy,dz,dx
é o volume da região
E=(x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x,;0<= z<=1-x^2
no primeiro octante. Essa região é limitada pelos planos coordenados, pelo plano oblíquo y=1-x e pelo cilindro parabólico z=1-x^2. Para reescrever em ordens diferentes, vamos usar projeções de E nos eixos.

Passo 2

Projete E no plano xy: obtemos o triângulo
T=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x
Sobre cada ponto de T, z varia de 0 até 1-x^2. Geometricamente, é a região “sob” o cilindro parabólico z=1-x^2 acima do triângulo T.

Passo 3

Ordem dy,dx,dz.
  1. Como 0<= z<=1-x^2 e 0<= x<=1, a projeção de E no eixo z é 0<= z<=1.
  2. Para cada z fixo, x^2<=1-z 0<= x<=raiz1-z.
  3. Para cada (z,x), y varia de 0 a 1-x.
    Portanto
integralz=0^1integralx=0^raiz1-zintegraly=0^1-xdy,dx,dz

Passo 4

Ordem dz,dy,dx.
  1. x varia de 0 a 1.
  2. Para cada x, y varia de 0 a 1-x.
  3. Para cada (x,y), z varia de 0 a 1-x^2.
    Logo
integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^1-x^2dz,dy,dx

Resposta

Primeira reescrita (ordem dy,dx,dz):
integralz=0^1integralx=0^raiz1-zintegraly=0^1-xdy,dx,dz
Segunda reescrita (ordem dz,dy,dx):
integralx=0^1integraly=0^1-xintegralz=0^1-x^2dz,dy,dx

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