Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
Passo 1
O volume dado por
é o volume da região
no primeiro octante. Essa região é limitada pelos planos coordenados, pelo plano oblíquo
e pelo cilindro parabólico
. Para reescrever em ordens diferentes, vamos usar projeções de
nos eixos.
Passo 2
Projete
no plano
: obtemos o triângulo
Sobre cada ponto de
,
varia de
até
. Geometricamente, é a região “sob” o cilindro parabólico
acima do triângulo
.
Passo 3
Ordem
.
- Como
e , a projeção de no eixo é . - Para cada
fixo, dá . - Para cada
, varia de a .
Portanto
Passo 4
Ordem
.
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Logo
Resposta
Primeira reescrita (ordem
):
Segunda reescrita (ordem
):