Encontre d yd x das seguintes equações:
Questões sobre equações diferenciais.
y raizx-x raizy=9

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
yraizx-xraizy=9
e pede dfracdydx. O conteúdo envolvido é derivação implícita com regra do produto e derivadas de raizx e raizy.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x, lembrando que y é função de x:
ddxl(yraizxr) = y'raizx+ycdot12raizx,
ddxl(xraizyr) =1cdotraizy+xcdot12raizy,y'
Então a derivada da equação inteira é
y'raizx+y2raizx -l(raizy+x2raizy,y'r) =0

Passo 3

Agrupamos os termos com y' num lado e os demais do outro:
y'raizx-x2raizy,y' =raizy-y2raizx
Fatorando y',
y'l(raizx-x2raizyr) =raizy-y2raizx Longrightarrow y' = raizy-y2raizx raizx-x2raizy

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por 2raizxraizy para limpar as frações:
y' =2raizxraizyl(raizy-tfracy2raizxr) 2raizxraizyl(raizx-tfracx2raizyr) =2raizx,y - yraizy2xraizy-xraizx =y,(2raizx-raizy)x,(2raizy-raizx)

Resposta

dydx =y,(2raizx-raizy)x,(2raizy-raizx)

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