[G] Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
f(x)=x^3+9 x

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^3+9x
  1. Encontrar extremos relativos, ou seja, pontos onde f'(x)=0 e muda sinal.
  2. Determinar os intervalos em que f é crescente ou decrescente pela análise de f'(x).
  3. Achar pontos de inflexão e os intervalos de concavidade usando f''(x).
  4. Fazer um esboço do gráfico, indicando crescimento, concavidades e ponto de inflexão.

Passo 2

Calcule a primeira derivada e resolva f'(x)=0:
f'(x)=ddxl(x^3+9xr)=3x^2+9
Igualando a zero,
3x^2+9=0Longrightarrow x^2=-3,
não há solução real.

Passo 3

Como 3x^2+9>0 para todo xinR, concluímos que
f'(x)>0 em todo (-infty,infty).
Logo, a função é estritamente crescente em toda reta real e não tem extremos relativos.

Passo 4

Calcule a segunda derivada para concavidade e inflexão:
f''(x)=ddx(3x^2+9)=6x
O ponto onde f''(x)=0 é x=0. O valor de f ali é f(0)=0, logo há um ponto de inflexão em (0,0).

Passo 5

Determine a concavidade pelo sinal de f''(x):
– Para x<0, f''(x)=6x<0, a curva é côncava para baixo.
– Para x>0, f''(x)=6x>0, a curva é côncava para cima.

Passo 6

Esboço do gráfico:
– É uma cúbica com termo dominante positivo, cresce de -infty a +infty.
– Passa por (0,0), que é ponto de inflexão (de concavidade pra baixo muda pra cima).
– Para xto-infty, f(x)to-infty; para xto+infty, f(x)to+infty.

Resposta

Sem extremos relativos;
crescente em (-infty,infty);
ponto de inflexão em (0,0);
côncava para baixo em (-infty,0);
côncava para cima em (0,infty).

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