Encontre os extremos relativos da função, os intervalos onde função é crescente, decrescente, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para a função
- Encontrar extremos relativos, ou seja, pontos onde
e muda sinal. - Determinar os intervalos em que
é crescente ou decrescente pela análise de . - Achar pontos de inflexão e os intervalos de concavidade usando
. - Fazer um esboço do gráfico, indicando crescimento, concavidades e ponto de inflexão.
Passo 2
Calcule a primeira derivada e resolva
:
Igualando a zero,
não há solução real.
Passo 3
Como
para todo
, concluímos que
– em todo
.
Logo, a função é estritamente crescente em toda reta real e não tem extremos relativos.
–
Logo, a função é estritamente crescente em toda reta real e não tem extremos relativos.
Passo 4
Calcule a segunda derivada para concavidade e inflexão:
O ponto onde
é
. O valor de
ali é
, logo há um ponto de inflexão em
.
Passo 5
Determine a concavidade pelo sinal de
:
– Para ,
, a curva é côncava para baixo.
– Para ,
, a curva é côncava para cima.
– Para
– Para
Passo 6
Esboço do gráfico:
– É uma cúbica com termo dominante positivo, cresce de a
.
– Passa por , que é ponto de inflexão (de concavidade pra baixo muda pra cima).
– Para ,
; para
,
.
– É uma cúbica com termo dominante positivo, cresce de
– Passa por
– Para
Resposta
Sem extremos relativos;
crescente em ;
ponto de inflexão em ;
côncava para baixo em ;
côncava para cima em .
crescente em
ponto de inflexão em
côncava para baixo em
côncava para cima em