Encontre d yd x(y^prime) diferenciando implicitamente:
sen x+cos y=sen x cos y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita sin x + cos y = sin xcos y e pede y'=tfracdydx. O conteúdo é derivação implícita combinada com a regra do produto, pois temos um produto sin xcos y.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo, usando a derivada de sin x e de cos y via cadeia:
ddx(sin x) + ddx(cos y) = cos x - sin y,y'

Passo 3

Do lado direito, aplicamos a regra do produto em sin xcos y:
ddx(sin xcos y) = (cos x)cos y + (sin x)l(-sin y,y'r) = cos xcos y - sin xsin y,y'

Passo 4

Agora igualamos as derivadas:
cos x - sin y,y' = cos xcos y - sin xsin y,y'
Em seguida, agrupamos todos os termos que envolvem y' num lado e os demais termos no outro:
-sin y,y' + sin xsin y,y' = cos xcos y - cos x

Passo 5

Fatoramos y' no lado esquerdo e cos x no direito:
y'(-sin y + sin xsin y) = cos x(cos y - 1)
Podemos reescrever o fator de y' como sin y(sin x - 1) multiplicando ambos numerador e denominador por -1:

Passo 6

Finalmente isolamos y' dividindo ambos os lados pelo coeficiente:
y' = cos x(1 - cos y)sin y(1 - sin x)

Resposta

y' = cos x,(1 - cos y)sin y,(1 - sin x)

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