Encontre a derivada das seguintes funções inversas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação! A questão pede para encontrar a derivada da função inversa trigonométrica $ y = \operatorname{tg}{-1}\left(e{x}\right) $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções compostas que envolvem funções inversas trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a fórmula da derivada da função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para derivar a função arco-tangente. Se tivermos uma função $ y = \arctan(u) $, a derivada $ y’ $ é dada por:
Aqui, $ u $ é uma função de $ x $, e precisamos derivar $ u $ em relação a $ x $.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro da arco-tangente é $ e^{x} $. Então, podemos identificar que:
Agora, vamos derivar $ u $ em relação a $ x $:
Pois a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $.
Passo 4
Agora que temos $ u = e^{x} $ e $ \frac{du}{dx} = e^{x} $, vamos substituir esses valores na fórmula da derivada da arco-tangente:
Simplificando, fica:
Resposta
A derivada da função é: