Encontre a derivada das seguintes funções inversas:
y=tg^-1(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação! A questão pede para encontrar a derivada da função inversa trigonométrica $ y = \operatorname{tg}{-1}\left(e{x}\right) $. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções compostas que envolvem funções inversas trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e conhecer a fórmula da derivada da função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para derivar a função arco-tangente. Se tivermos uma função $ y = \arctan(u) $, a derivada $ y’ $ é dada por:
y = arctan(u)
Aqui, $ u $ é uma função de $ x $, e precisamos derivar $ u $ em relação a $ x $.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da arco-tangente é $ e^{x} $. Então, podemos identificar que:
e^x
Agora, vamos derivar $ u $ em relação a $ x $:
u = e^x
Pois a derivada de $ e^{x} $ é $ e^{x} $.

Passo 4

Agora que temos $ u = e^{x} $ e $ \frac{du}{dx} = e^{x} $, vamos substituir esses valores na fórmula da derivada da arco-tangente:
u = e^x
Simplificando, fica:
dudx = e^x

Resposta

A derivada da função é:
y' = e^x1 + e^2x

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