Encontre d yd x(y^prime) diferenciando implicitamente:
y=(sen x)^x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y=(sin x)^x usando diferenciação implícita (na prática, vamos usar diferenciação logarítmica). O conteúdo envolve regra da cadeia, logaritmo e produto, e também precisamos saber derivar sin x.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural nos dois lados para simplificar a potência:
ln y = xln(sin x)

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, d(ln y)/dx = y'/y. No lado direito, usamos a regra do produto em xln(sin x):
y'y = 1cdotln(sin x) + xcdotddx[ln(sin x)]
E como d(ln(sin x))/dx = cos xsin x = cot x, temos
y'y = ln(sin x) + xcot x

Passo 4

Por fim, isolamos y' multiplicando ambos os lados por y e substituímos y=(sin x)^x:
y' = yl(ln(sin x)+xcot xr) = (sin x)^xl(ln(sin x)+xcot xr)

Resposta

y' = (sin x)^xl(ln(sin x) + xcot xr)

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