Encontre d yd x(y^prime) diferenciando implicitamente:
y=2^3^x^2

Passo 1

O enunciado pede para achar y' = dydx da função y = 2^3^x^2 usando diferenciação implícita (na prática, vamos usar logaritmos para facilitar). O conteúdo aqui é derivação de função exponencial composta e aplicação da regra da cadeia juntamente com propriedades de logaritmo.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para “descer” a potência:
ln y = lnl(2^3^x^2r) = 3^x^2 ln 2

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo, ddxln y = y'y. No direito, ln 2 é constante e usamos ddx3^x^2 = 3^x^2 ln 3 cdot 2x. Logo:
y'y = ln 2 cdot l(3^x^2 ln 3 cdot 2xr) = 2x,3^x^2,ln 3,ln 2

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y e, em seguida, substituímos y = 2^3^x^2:
y' = y cdot 2x,3^x^2,ln 3,ln 2 = 2^3^x^2 cdot 2x,3^x^2,ln 3,ln 2

Resposta

y' = 2^3^x^2 cdot 2x,3^x^2,ln 3,ln 2.

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