Encontre d yd x(y^prime) diferenciando implicitamente:
y=x^(x+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, para a função $ y = x^{(x+1)} $. O conteúdo aqui envolve derivação, especificamente diferenciação implícita e uso de logaritmos para facilitar a derivação de funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Temos:
y = x^(x + 1)
Como a variável $ x $ está no expoente, é mais fácil lidar com isso usando logaritmos. Então, vamos fazer o logaritmo natural dos dois lados da equação.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural:
ln(y) = ln(x^(x + 1))
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $.

Passo 4

Simplificando o lado direito usando a propriedade dos logaritmos:
ln(y) = (x + 1) cdot ln(x)
Agora, nossa equação está em uma forma mais fácil de diferenciar.

Passo 5

Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a $ x $. Lembre-se de que $ y $ é uma função de $ x $, então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo.
Diferenciando o lado esquerdo:
x
Diferenciando o lado direito:
y
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos o produto de $ (x + 1) $ e $ \ln(x) $.

Passo 6

Aplicando a regra do produto no lado direito:
ddx[(x + 1) cdot ln(x)] = (x + 1) cdot ddx[ln(x)] + ln(x) cdot ddx[x + 1]
Sabemos que $ \frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x} $ e $ \frac{d}{dx}[x + 1] = 1 $.

Passo 7

Substituindo as derivadas encontradas:
(x + 1) cdot 1x + ln(x) cdot 1 = x + 1x + ln(x)
Então, a derivada do lado direito fica:
x + 1x + ln(x)

Passo 8

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
1y cdot dydx = x + 1x + ln(x)
Queremos isolar $ \frac{dy}{dx} $, então multiplicamos ambos os lados por $ y $:
dydx

Passo 9

Lembre-se que $ y = x^{(x + 1)} $, então substituímos de volta:
y = x^(x + 1)
Isso simplifica para:
dydx = x^(x + 1) ( x + 1x + ln(x) )

Resposta

A derivada de $ y = x^{(x + 1)} $ em relação a $ x $ é:
y = x^(x + 1)

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