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diferenciando implicitamente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão: precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $, para a função $ y = x^{(x+1)} $. O conteúdo aqui envolve derivação, especificamente diferenciação implícita e uso de logaritmos para facilitar a derivação de funções onde a variável está tanto na base quanto no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Temos:
Como a variável $ x $ está no expoente, é mais fácil lidar com isso usando logaritmos. Então, vamos fazer o logaritmo natural dos dois lados da equação.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $.
Passo 4
Simplificando o lado direito usando a propriedade dos logaritmos:
Agora, nossa equação está em uma forma mais fácil de diferenciar.
Passo 5
Agora, diferenciamos ambos os lados em relação a $ x $. Lembre-se de que $ y $ é uma função de $ x $, então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo.
Diferenciando o lado esquerdo:
Diferenciando o lado direito:
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos o produto de $ (x + 1) $ e $ \ln(x) $.
Passo 6
Aplicando a regra do produto no lado direito:
Sabemos que $ \frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x} $ e $ \frac{d}{dx}[x + 1] = 1 $.
Passo 7
Substituindo as derivadas encontradas:
Então, a derivada do lado direito fica:
Passo 8
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Queremos isolar $ \frac{dy}{dx} $, então multiplicamos ambos os lados por $ y $:
Passo 9
Lembre-se que $ y = x^{(x + 1)} $, então substituímos de volta:
Isso simplifica para:
Resposta
A derivada de $ y = x^{(x + 1)} $ em relação a $ x $ é: