Encontre a decomposição espectral de A^2 e mostre que a matriz diagonal de autovalores é igual ao quadrado da matriz D encontrada na parte (a).

Passo 1

O enunciado parte do fato de que, na parte (a), diagonalizamos A como
A=Q,D,Q^*,
onde Q é unitária (ou invertível, no caso geral) e D é diagonal contendo os autovalores de A. O objetivo aqui é escrever A^2 também numa forma espectral
A^2=Q,Lambda,Q^*
e mostrar que a matriz diagonal Lambda coincide com D^2.

Passo 2

Usamos a expressão espectral de A para computar A^2:
A^2 =l(Q,D,Q^*r) ,l(Q,D,Q^*r)
Como Q^*Q=I, isso se simplifica a
A^2 =Q,D,(Q^*Q),D,Q^* =Q,D^2,Q^*

Passo 3

Da expressão
vemos que a forma espectral de tem a mesma base de autovetores e a matriz diagonal de autovalores é exatamente . Em outras palavras, se , então os autovalores de são .

Resposta

A^2 =Q,D^2,Q^*,
e a matriz diagonal de autovalores de A^2 é D^2.

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