Encontre a decomposição espectral de
e mostre que a matriz diagonal de autovalores é igual ao quadrado da matriz
encontrada na parte (a).
Passo 1
O enunciado parte do fato de que, na parte (a), diagonalizamos
como
onde
é unitária (ou invertível, no caso geral) e
é diagonal contendo os autovalores de
. O objetivo aqui é escrever
também numa forma espectral
e mostrar que a matriz diagonal
coincide com
.
Passo 2
Usamos a expressão espectral de
para computar
:
Como
, isso se simplifica a
Passo 3
Da expressão
vemos que a forma espectral de
tem a mesma base de autovetores
e a matriz diagonal de autovalores é exatamente
. Em outras palavras, se , então os autovalores de
são
.
Resposta
e a matriz diagonal de autovalores de
é
.