Encontre a decomposição em fatores primos dos inteiros 1234, 10140 e 36000.

Passo 1

O enunciado pede a fatoração em números primos de três inteiros: 1234, 10140 e 36000. Vamos usar a ideia de que todo inteiro n>1 pode ser escrito de forma única (até a ordem) como produto de primos. Para cada número, aplicaremos regras de divisibilidade e divisão sucessiva por primos.

Passo 2

Fatorando 1234:
  • Como é par, divide-se por 2:
1234 \div 2 = 617.
  • Testamos se 617 é primo. A soma dos dígitos 6+1+7=14 não indica divisibilidade por 3; não termina em 5 nem 0, logo não é divisível por 5. Tentamos 7: 7\cdot88=616, resto 1. Para 11: 11\cdot56=616, resto 1. Para 13: 13\cdot47=611, resto 6. Nenhum primo até \sqrt{617}\approx24{,}8 divide 617, então 617 é primo.
    Logo
1234 = 2 \times 617.

Passo 3

Fatorando 10140:
  • É par, dividimos por 2 enquanto for par:
10140 \div 2 = 5070,\quad 5070 \div 2 = 2535.
  • Agora 2535. Soma dos dígitos 2+5+3+5=15 múltiplo de 3, então
2535 \div 3 = 845.
  • 845 termina em 5, divide-se por 5:
845 \div 5 = 169.
  • 169=13^2.
    Logo
10140 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13^2.

Passo 4

Fatorando 36000:
  • Note que 36000 = 36 \times 1000.
  • 36 = 2^2 \times 3^2.
  • 1000 = 10^3 = (2\cdot5)^3 = 2^3 \times 5^3.
    Juntando fatores iguais: potências de 2 somam 2+3=5, de 3 fica 2, de 5 fica 3.
36000 = 2^5 \times 3^2 \times 5^3.

Resposta

1234= 2 \times 617 10140= 2^2 \times 3 \times 5 \times 13^2 36000= 2^5 \times 3^2 \times 5^3

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