Se p \neq 5 é um primo ímpar, prove que p^{2}-1 ou p^{2}+1 é divisível por 10 .

Passo 1

O enunciado diz que p é um primo ímpar diferente de 5 e pede para mostrar que uma das expressões p^{2}-1 ou p^{2}+1 é divisível por 10. O conteúdo usado será aritmética modular, em particular classes de resíduos módulo 10.

Passo 2

Como p é primo ímpar e p\neq5, temos \gcd(p,10)=1. Logo p é invertível em \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} e só pode assumir as classes de resíduos
p\bmod10\in\{1,3,7,9\}.

Passo 3

Vamos calcular o quadrado de cada uma dessas classes módulo 10:
1^2\equiv9^2\equiv1\pmod{10}
3^2\equiv7^2\equiv9\pmod{10}
Portanto necessariamente
p^2\equiv1\pmod{10} \quad\text{ou}\quad p^2\equiv9\pmod{10}.

Passo 4

Se p^2\equiv1\pmod{10}, então
p^2 - 1\equiv0\pmod{10}
e p^2-1 é múltiplo de 10.
Se p^2\equiv9\pmod{10}, então
p^2 + 1\equiv0\pmod{10}
e p^2+1 é múltiplo de 10.

Resposta

Para todo primo ímpar p\neq5, ou p^2-1 ou p^2+1 é divisível por 10.

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