Se
é um primo ímpar, prove que
ou
é divisível por 10 .
Passo 1
O enunciado diz que
é um primo ímpar diferente de
e pede para mostrar que uma das expressões
ou
é divisível por
. O conteúdo usado será aritmética modular, em particular classes de resíduos módulo
.
Passo 2
Como
é primo ímpar e
, temos
. Logo
é invertível em
e só pode assumir as classes de resíduos
Passo 3
Vamos calcular o quadrado de cada uma dessas classes módulo
:
Portanto necessariamente
Passo 4
Se
, então
e
é múltiplo de
.
Se , então
Se
e
é múltiplo de
.
Resposta
Para todo primo ímpar
, ou
ou
é divisível por
.