Uma outra questão em aberto é se existem infinitos primos da forma n^{2}+1; por exemplo, 257=16^{2}+1. Exiba mais cinco primos deste tipo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar números primos da forma n^{2}+1. O conteúdo envolve testar valores inteiros de n e verificar se n^{2}+1 é primo, usando noções básicas de teste de primalidade para números relativamente pequenos.

Passo 2

Começamos a testar n a partir de 1. Para cada n, calculamos
m = n^{2} + 1
e verificamos se m é primo, ou seja, se não possui divisores além de 1 e ele mesmo.

Passo 3

Testando para n=1,2,3,4,5,6:
  • n=1\colon 1^{2}+1=2, que é primo.
  • n=2\colon 2^{2}+1=5, que é primo.
  • n=3\colon 3^{2}+1=10, que é composto.
  • n=4\colon 4^{2}+1=17, que é primo.
  • n=5\colon 5^{2}+1=26, que é composto.
  • n=6\colon 6^{2}+1=37, que é primo.

Passo 4

Continuamos até achar o quinto primo:
  • n=7\colon 7^{2}+1=50, composto.
  • n=8\colon 8^{2}+1=65, composto.
  • n=9\colon 9^{2}+1=82, composto.
  • n=10\colon 10^{2}+1=101, que é primo.

Resposta

Os cinco primos adicionais da forma n^{2}+1 são
2,\;5,\;17,\;37,\;101.

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