Encontre uma decomposição L U para as matrizes abaixo
\left(\begin{array}{ll}-3 & 1 \\\\ -6 & 2\end{array}\right) \text {. }

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar uma decomposição L U da matriz
A=\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] -6 & 2\end{pmatrix}.
Informações dadas (explicitando os elementos da matriz):
a_{11}=-3,\quad a_{12}=1,\quad a_{21}=-6,\quad a_{22}=2.
Então precisamos escrever A como produto de uma matriz triangular inferior L e uma triangular superior U.]

Passo 2

O que significa uma decomposição L U (método que vamos usar — forma de Doolittle):
  • L é uma matriz triangular inferior com 1s na diagonal principal, ou seja
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix}.
  • U é uma matriz triangular superior
U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} \\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
A ideia prática: fazemos eliminação de Gauss na matriz A sem permutar linhas; o multiplicador usado para zerar a entrada abaixo do pivô torna-se \ell_{21}, e as linhas resultantes dão as entradas de U.]

Passo 3

Escolha do pivô e cálculo do multiplicador:
  • O pivô na primeira etapa é a_{11}=-3. Como ele é diferente de zero, podemos proceder sem trocar linhas.
  • O multiplicador para zerar a_{21} é
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-6}{-3}=2.
Expliquei: \ell_{21} é o número que multiplica a primeira linha de A e subtraímos da segunda linha para anulá-la; esse mesmo número fica como entrada L_{21}.

Passo 4

Aplicar a eliminação para obter U:
  • Substituímos a segunda linha por (segunda linha) -\ell_{21}\times (primeira linha). Em notação de componentes:
\text{nova } a_{21} = a_{21} - \ell_{21}\,a_{11} = -6 - 2(-3) = -6 + 6 = 0,
\text{nova } a_{22} = a_{22} - \ell_{21}\,a_{12} = 2 - 2(1) = 2 - 2 = 0.
Portanto, após a eliminação, a matriz superior (as linhas não modificadas da primeira linha e a linha transformada) é
U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} \\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construir L com o multiplicador encontrado e escrever U:
  • Pelo Passo 3 temos \ell_{21}=2, então
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
  • E pelo Passo 4
U=\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): multiplicar L por U e checar que volta A.
Calculemos L U:
L U= \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-3)+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot0 \\[6pt] 2\cdot(-3)+1\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] -6 & 2\end{pmatrix},
que é exatamente A. Portanto a decomposição está correta.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix}-3 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

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