1. Use o método de Newton com valor inicial espeficado x_{0} para encontrar x_{2}, a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
    (a) x^{3}+2 x-4=0, x_{0}=1\left(\right. Resposta: \left.x_{2} \simeq 1.1797\right)
    (b) x^{5}-x-1=0, x_{0}=1\left(\right. Resposta: \left.x_{2} \simeq 1.1785\right).

Passo 1

O enunciado pede: usar o método de Newton com valor inicial dado x_{0} para encontrar a terceira aproximação de raiz, isto é x_{2}, da equação indicada e dar a resposta com 4 casas decimais. As informações fornecidas são:
(a) equação \;x^{3}+2x-4=0, com x_{0}=1.
(b) equação \;x^{5}-x-1=0, com x_{0}=1.
O que precisamos calcular para cada item é x_{1} e em seguida x_{2} usando o método de Newton, e apresentar x_{2} arredondado com 4 casas decimais.

Passo 2

Vou lembrar aqui a fórmula do método de Newton (é a ferramenta principal que vamos aplicar): dado f(x) e sua derivada f'(x), a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Explicando devagar: x_{n} é a aproximação atual; calculamos o valor da função f(x_{n}) e da derivada f'(x_{n}). O quociente \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} é uma correção que subtraímos de x_{n} para obter uma aproximação melhor x_{n+1}. É isso que faremos passo a passo para n=0 (para obter x_{1}) e depois para n=1 (para obter x_{2}).

Passo 3

Item (a): defino a função e sua derivada.
f(x)=x^{3}+2x-4, \qquad f'(x)=3x^{2}+2.
Agora calculo x_{1} a partir de x_{0}=1. Primeiro avalio f(1) e f'(1):
f(1)=1^{3}+2\cdot1-4=1+2-4=-1, \qquad f'(1)=3\cdot1^{2}+2=3+2=5.
Aplicando Newton:
x_{1}=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{-1}{5}=1+\frac{1}{5}=1{,}2.

Passo 4

Continuo para x_{2}. Calculo f(1{,}2) e f'(1{,}2). Faço as potências explicitamente:
1{,}2^{3}=1{,}728.
Logo
f(1{,}2)=1{,}728+2\cdot1{,}2-4=1{,}728+2{,}4-4=0{,}128.
E
f'(1{,}2)=3\cdot(1{,}2)^{2}+2=3\cdot1{,}44+2=4{,}32+2=6{,}32.
Agora a correção:
\frac{f(1{,}2)}{f'(1{,}2)}=\frac{0{,}128}{6{,}32}.
Faço essa fração de forma exata em termos racionais: \dfrac{0{,}128}{6{,}32}=\dfrac{128/1000}{632/100}=\dfrac{128}{6320}=\dfrac{8}{395}. Assim
x_{2}=1{,}2-\frac{8}{395}.
Para ver o decimal:
\frac{8}{395}\approx0{,}02025316456\ldots
então
x_{2}\approx1{,}2-0{,}02025316456\ldots=1{,}1797468354\ldots
Arredondando para 4 casas decimais obtemos x_{2}\simeq1{,}1797.

Passo 5

Breve interpretação (motivação): para o item (a) as contas foram rápidas porque x_{0}=1 deu um f(x_{0}) pequeno e a derivada simples; a fração simplificou bem para \dfrac{8}{395}, o que facilita obter o decimal exato suficiente para o arredondamento.

Passo 6

Item (b): defino a função e sua derivada.
f(x)=x^{5}-x-1, \qquad f'(x)=5x^{4}-1.
Começo calculando x_{1} a partir de x_{0}=1. Avalio f(1) e f'(1):
f(1)=1^{5}-1-1=1-1-1=-1, \qquad f'(1)=5\cdot1^{4}-1=5-1=4.
Aplicando Newton:
x_{1}=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{-1}{4}=1+\frac{1}{4}=1{,}25.

Passo 7

Agora calculo x_{2}. Preciso de f(1{,}25) e f'(1{,}25). Faço as potências com cuidado (trabalho exato em frações para clareza):
1{,}25=\frac{5}{4},\qquad \left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}=1{,}5625,
\left(\frac{5}{4}\right)^{3}=\frac{125}{64}=1{,}953125, \qquad \left(\frac{5}{4}\right)^{4}=\frac{625}{256}=2{,}44140625,
\left(\frac{5}{4}\right)^{5}=\frac{3125}{1024}=3{,}0517578125.
Assim
f(1{,}25)=\frac{3125}{1024}-1{,}25-1=\frac{3125}{1024}-\frac{5}{4}-1.
Convertendo \frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}=\frac{2304}{1024}, obtemos
f(1{,}25)=\frac{3125-2304}{1024}=\frac{821}{1024}\approx0{,}8017578125.
Para a derivada:
f'(1{,}25)=5\cdot\frac{625}{256}-1=\frac{3125}{256}-1=\frac{3125-256}{256}=\frac{2869}{256}\approx11{,}20703125.

Passo 8

Agora a correção \dfrac{f(1{,}25)}{f'(1{,}25)} fica (usar as frações facilita):
\frac{f(1{,}25)}{f'(1{,}25)}=\frac{821/1024}{2869/256}=\frac{821}{1024}\cdot\frac{256}{2869}=\frac{821}{4\cdot2869}=\frac{821}{11476}.
Faço a divisão longa para obter o decimal necessário (mostro os primeiros algarismos):
\frac{821}{11476}=0{,}07154060\ldots
Portanto
x_{2}=1{,}25-\frac{821}{11476}\approx1{,}25-0{,}07154060\ldots=1{,}1784594\ldots
Arredondando para 4 casas decimais obtemos x_{2}\simeq1{,}1785.

Passo 9

Comentário final breve e incentivo: pronto — fizemos as duas iterações com calma, mostrando potências, derivadas e como simplificar frações para conseguir os decimais com precisão suficiente para arredondar. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo, pratique mais alguns exemplos iguais e a técnica vai entrar na cabeça.

Resposta

(a) x_{2}\simeq1{,}1797
(b) x_{2}\simeq1{,}1785

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