- Use o método de Newton com valor inicial espeficado
para encontrar
, a terceira aproximação de raiz da equação dada. (Dê sua resposta com quatro casas decimais).
(a)
Resposta:
(b)
Resposta:
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton com valor inicial dado
para encontrar a terceira aproximação de raiz, isto é
, da equação indicada e dar a resposta com
casas decimais. As informações fornecidas são:
(a) equação
, com
.
(b) equação , com
.
(b) equação
O que precisamos calcular para cada item é
e em seguida
usando o método de Newton, e apresentar
arredondado com
casas decimais.
Passo 2
Vou lembrar aqui a fórmula do método de Newton (é a ferramenta principal que vamos aplicar): dado
e sua derivada
, a iteração de Newton é
Explicando devagar:
é a aproximação atual; calculamos o valor da função
e da derivada
. O quociente
é uma correção que subtraímos de
para obter uma aproximação melhor
. É isso que faremos passo a passo para
(para obter
) e depois para
(para obter
).
Passo 3
Item (a): defino a função e sua derivada.
Agora calculo
a partir de
. Primeiro avalio
e
:
Aplicando Newton:
Passo 4
Continuo para
. Calculo
e
. Faço as potências explicitamente:
Logo
E
Agora a correção:
Faço essa fração de forma exata em termos racionais:
. Assim
Para ver o decimal:
então
Arredondando para
casas decimais obtemos
.
Passo 5
Breve interpretação (motivação): para o item (a) as contas foram rápidas porque
deu um
pequeno e a derivada simples; a fração simplificou bem para
, o que facilita obter o decimal exato suficiente para o arredondamento.
Passo 6
Item (b): defino a função e sua derivada.
Começo calculando
a partir de
. Avalio
e
:
Aplicando Newton:
Passo 7
Agora calculo
. Preciso de
e
. Faço as potências com cuidado (trabalho exato em frações para clareza):
Assim
Convertendo
, obtemos
Para a derivada:
Passo 8
Agora a correção
fica (usar as frações facilita):
Faço a divisão longa para obter o decimal necessário (mostro os primeiros algarismos):
Portanto
Arredondando para
casas decimais obtemos
.
Passo 9
Comentário final breve e incentivo: pronto — fizemos as duas iterações com calma, mostrando potências, derivadas e como simplificar frações para conseguir os decimais com precisão suficiente para arredondar. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo, pratique mais alguns exemplos iguais e a técnica vai entrar na cabeça.
Resposta
(a)
(b)
(b)