Encontrar a decomposição LU de A, isto é, matrizes L (triangular inferior) e U (triangular superior) tais que A=LU.
Usar essa decomposição para calcular \det(A).
Informações relevantes fornecidas:
Os elementos da matriz A estão todos explicitados acima.
Não há indicação de permutações de linhas (troca de pivô) no enunciado.]
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
Vou usar o método decomposto conhecido como Doolittle, em que se procura A=LU com L triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1 e U triangular superior. Motivo: é direto e pega os multiplicadores usados na eliminação de Gauss como entradas abaixo da diagonal em L.
Conceitos que vamos usar:
Eliminação de Gauss: para zerar elementos abaixo de um pivô u_{kk} na coluna k, subtrai-se da linha i uma múltipla l_{ik} da linha k, onde
Esse l_{ik} é exatamente a entrada de L na posição (i,k).
Ao final, U será a matriz triangular superior obtida pelas linhas após as eliminações, e L terá diagonal de 1 e os multiplicadores abaixo da diagonal.
Determinante por LU: se não houve permutações de linhas, \det(A)=\det(L)\det(U). Para Doolittle, \det(L)=1 porque a diagonal de L é composta por 1's; então \det(A)=\prod_{i} u_{ii}, produto dos elementos diagonais de U.
Agora aplicamos isso passo a passo nas contas concretas.
Passo 3
Primeira coluna: usar o pivô inicial \,u_{11}=2 (o elemento a_{11} de A).
Calcular os multiplicadores para zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1.
Explicando: l_{21} significa “quantas vezes a linha 1 devo subtrair da linha 2” para zerar a primeira entrada da linha 2; o mesmo para l_{31}.
Passo 4
Aplicar as operações nas linhas usando os multiplicadores calculados e formar as novas linhas (essas serão linhas de U exceto a primeira, que permanece a mesma).
Linha 1 (permanece igual, será a primeira linha de U):
\text{linha}_1=(2,\;3,\;4).
Atualizar linha 2: \text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - l_{21}\cdot\text{linha}_1.
Calcule componente a componente:
Segunda coluna: agora o pivô secundário é u_{22}=-\tfrac{1}{2} (a segunda entrada da segunda linha após a primeira eliminação). Vamos zerar a entrada (3,2) que atualmente vale -7.