Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método da eliminação gaussiana.
(a)
\left\{\begin{aligned} 2 x+3 y+4 z & =20 \\\ x+y+z & =6 \\\\ 4 x-y-2 z & =-4 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para resolvê-lo (achar x,y,z):
\left\{\begin{aligned} 2x+3y+4z &=20\\\ x+y+z &=6\\\\ 4x-y-2z &=-4 \end{aligned}\right.
Informações relevantes: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. O objetivo é encontrar o triplo (x,y,z) que satisfaz todas as três equações simultaneamente.

Passo 2

Vamos usar o método da eliminação de Gauss. Primeiro explicando a ideia de forma simples e prática:
  • Colocamos o sistema em forma de matriz aumentada (coeficientes e termos constantes).
  • Aplicamos operações elementares sobre linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a um linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é transformar a matriz numa forma triangular superior (ou forma escalonada) para depois resolver por substituição regressiva.
Matriz aumentada inicial (colunas: x,y,z e coluna dos termos):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 4 & 20\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 4 & -1 & -2 & -4 \end{array}\right]]

Passo 3

Escolha de pivô: a segunda linha tem coeficiente 1 na coluna de x, que é um pivô conveniente (pois já é 1). Para trabalhar mais fácil, troco a linha 1 com a linha 2 para que o pivô fique no topo:
Operação: trocar R_1 com R_2.
Matriz após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 20\\[4pt] 4 & -1 & -2 & -4 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora eliminamos a variável x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
  • Para zerar x em R_2: fazemos R_2 := R_2 - 2R_1.
    Cálculo linha 2: (2,3,4\,|\,20) - 2(1,1,1\,|\,6) = (0,1,2\,|\,8).
  • Para zerar x em R_3: fazemos R_3 := R_3 - 4R_1.
    Cálculo linha 3: (4,-1,-2\,|\,-4) - 4(1,1,1\,|\,6) = (0,-5,-6\,|\,-28).
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 0 & -5 & -6 & -28 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora usamos a linha 2 como pivô para a variável y. A linha 2 já tem coeficiente 1 em y, ótimo. Eliminamos y das linhas 1 e 3.
  • Para zerar y em R_1: fazemos R_1 := R_1 - R_2.
    Cálculo: (1,1,1\,|\,6) - (0,1,2\,|\,8) = (1,0,-1\,|\,-2).
  • Para zerar y em R_3: fazemos R_3 := R_3 + 5R_2 (porque -5 + 5\cdot 1 = 0).
    Cálculo: (0,-5,-6\,|\,-28) + 5(0,1,2\,|\,8) = (0,0,4\,|\,12).
Matriz escalonada obtida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 12 \end{array}\right]]

Passo 6

A terceira linha dá uma equação simples para z. Da terceira linha temos:
4z = 12.
Dividindo ambos os lados por 4 (explicando: para isolar z dividimos pelo coeficiente de z):
z = \frac{12}{4} = 3.

Passo 7

Agora fazemos substituição regressiva para encontrar y e x.
Da segunda linha (após eliminação) temos:
y + 2z = 8.
Substituindo z=3:
y + 2\cdot 3 = 8 \quad\Rightarrow\quad y + 6 = 8 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
Da primeira linha temos:
x - z = -2.
Substituindo z=3:
x - 3 = -2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Portanto encontramos x=1, y=2, z=3.

Passo 8

Verificação rápida (substituir na equações originais para garantir que não houve erro):
  • Primeira equação: 2x+3y+4z = 2\cdot 1 + 3\cdot 2 + 4\cdot 3 = 2 + 6 + 12 = 20. Confere com 20.
  • Segunda: x+y+z = 1+2+3 = 6. Confere com 6.
  • Terceira: 4x - y - 2z = 4\cdot1 - 2 - 2\cdot3 = 4 - 2 - 6 = -4. Confere com -4.
Tudo certo! Boa trajetória — deu tudo certo e o método foi só seguir a sequência de operações elementares.

Resposta

(x,y,z)=(1,2,3)

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