Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método da eliminação gaussiana.
(b)
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}= & 3 \\\\ -x_{1}-x_{2}-x_{3}= & -1 \\\\ 6 x_{1}-2 x_{2}-4 x_{3}= & 14 \end{aligned}\right.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados. O sistema dado é
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}= & 3,\\[4pt] -x_{1}-x_{2}-x_{3}= & -1,\\[4pt] 6 x_{1}-2 x_{2}-4 x_{3}= & 14. \end{aligned}\right.
O que se pede: encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3}\, que satisfazem essas três equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (eliminação de Gauss), sem pular etapas:
  • Representa-se o sistema por sua matriz aumentada e aplica-se operações elementares sobre linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero, somar a uma linha um múltiplo de outra). Essas operações não alteram o conjunto de soluções.
  • O objetivo é triangularizar a matriz (obter zeros abaixo da diagonal principal), ficando com um sistema triangular superior que se resolve por substituição regressiva (back-substitution).
  • Sempre que eu escrever R_i \leftarrow \text{(expressão)}ã significa que a linha i será substituída por essa expressão.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e termos independentes das equações acima):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 3\\[4pt] -1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 6 & -2 & -4 & 14 \end{array}\right]]

Passo 4

Escolho o pivô inicial \,2 (entrada em posição (1,1)). Vou zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando combinações inteiras para evitar frações desnecessárias.
Faço as operações:
R_{2} \leftarrow 2R_{2} + R_{1} \qquad\text{e}\qquad R_{3} \leftarrow R_{3} - 3R_{1}.
Calculo cada nova linha:
  • Para R_{2}: 2\cdot(-1)+2=0 (coluna 1), 2\cdot(-1)+1=-1 (coluna 2), 2\cdot(-1)+1=-1 (coluna 3), 2\cdot(-1)+3=1 (termo independente). Logo R_{2}=[0\\\ -1\\\ -1\mid 1].
  • Para R_{3}: 6-3\cdot2=0, -2-3\cdot1=-5, -4-3\cdot1=-7, 14-3\cdot3=5. Logo R_{3}=[0\\\ -5\\\ -7\mid 5].
A matriz resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & -7 & 5 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora uso o pivô -1 em posição (2,2) para zerar a entrada abaixo dele na coluna 2. Faço:
R_{3} \leftarrow R_{3} - 5R_{2}.
Calculo:
  • Coluna 2: -5 - 5\cdot(-1) = -5 +5 = 0.
  • Coluna 3: -7 - 5\cdot(-1) = -7 +5 = -2.
  • Termo independente: 5 - 5\cdot 1 = 0.
Assim R_{3}=[0\\\ 0\\\ -2\mid 0]. A matriz triangular superior é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora resolvo o sistema triangular por substituição regressiva. Escrevo o sistema equivalente às linhas:
Linha 3: -2 x_{3} = 0.
Logo
x_{3} = 0.
Linha 2: -1\cdot x_{2} -1\cdot x_{3} = 1. Substituindo x_{3}=0,
- x_{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = -1.
Linha 1: 2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3. Substituindo x_{2}=-1 e x_{3}=0,
2 x_{1} -1 + 0 = 3 \quad\Rightarrow\quad 2 x_{1} = 4 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = 2.

Passo 7

Verificação rápida (substituindo na equação original para garantir que não houve erro):
  • Primeira equação: 2\cdot 2 + (-1) + 0 = 4-1=3, confere.
  • Segunda: -2 + 1 + 0 = -1 (observando que a segunda original era -x_1 - x_2 - x_3 = -1; com x_1=2,x_2=-1,x_3=0 temos -2 -(-1) -0 = -1), confere.
  • Terceira: 6\cdot 2 -2\cdot(-1) -4\cdot0 = 12 +2 =14, confere.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=-1
x_{3}=0

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