Encontre uma decomposição em valores singulares para cada matriz a seguir:
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\\\ 2 & 3 \\\\ 2 & -2\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em valores singulares (SVD) da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2\\\\ 2 & 3\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix}.
Para isso precisamos (i) calcular as singular values como raízes das autovalores de A^TA, (ii) obter a matriz ortonormal V dos autovetores de A^TA, (iii) montar \Sigma com essas singular values e (iv) encontrar a matriz ortonormal U via U = A\,V\,\Sigma^{-1}, completando-a com um vetor ortogonal aos primeiros.

Passo 2

Calculemos
A^TA = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\\\\ 2 & 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2\\\\ 2 & 3\\\\ 2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 8\\\\ 8 & 17 \end{pmatrix}.
Seus autovalores resolvem \det(A^TA - \lambda I)=0, ou seja
\det\!\bigl(\begin{smallmatrix}17-\lambda & 8\\\ 8 & 17-\lambda\end{smallmatrix}\bigr) =(17-\lambda)^2-8^2=0 \implies\lambda_1=25,\\ \lambda_2=9.
As singular values são
\sigma_1=\sqrt{25}=5, \quad \sigma_2=\sqrt{9}=3.

Passo 3

Os autovetores de A^TA são:
para \lambda_1=25, a equação (-8)x+8y=0 y=x, escolhemos
v_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix};
para \lambda_2=9, a equação 8x+8y=0 y=-x, escolhemos
v_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Assim
V = \bigl[v_1\;v_2\bigr] = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz \Sigma (de dimensão 3\times2) fica
\Sigma = \begin{pmatrix} 5 & 0\\\\ 0 & 3\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para montar U usamos
u_i = \frac{1}{\sigma_i}\,A\,v_i,\quad i=1,2,
e completamos com u_3 ortonormal a u_1,u_2.
Calcula-se
u_1 = \frac{1}{5}A\,v_1 =\frac{1}{5\sqrt{2}} \begin{pmatrix}5\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}}\\[3pt]\tfrac{1}{\sqrt{2}}\\[3pt]0\end{pmatrix},
u_2 = \frac{1}{3}A\,v_2 =\frac{1}{3\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3\sqrt{2}}\\[3pt]-\tfrac{1}{3\sqrt{2}}\\[3pt]\tfrac{4}{3\sqrt{2}}\end{pmatrix}.
Um vetor ortonormal a u_1,u_2 é
u_3 = \begin{pmatrix} \tfrac{2}{3}\\[3pt] -\tfrac{2}{3}\\[3pt] -\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.
Então
U = \bigl[u_1\;u_2\;u_3\bigr] =\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} & \frac{2}{3}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} & -\frac{2}{3}\\[6pt] 0 & \frac{4}{3\sqrt{2}} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

A decomposição em valores singulares é
A = U\,\Sigma\,V^T
com
U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} & \frac{2}{3}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} & -\frac{2}{3}\\[6pt] 0 & \frac{4}{3\sqrt{2}} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix},\quad \Sigma = \begin{pmatrix} 5 & 0\\\\ 0 & 3\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad V = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.]

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