Dados os pontos A=(1,-4,7) e B=(-3,-1,2), determine:
a) as equações da reta r definida pelos pontos A e B;
b) a posição dos pontos P(2,5,-6) e Q(13,-13,22) em relação à reta r.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos em \mathbb{R}^3, A=(1,-4,7) e B=(-3,-1,2), e pede:
  • (a) as equações da reta r que passa por A e B;
  • (b) verificar se os pontos P=(2,5,-6) e Q=(13,-13,22) pertencem a r.
    O conteúdo envolve coordenadas de reta em espaço e o teste de pertinência de um ponto à reta via as suas equações paramétricas.

Passo 2

Para obter as equações de r, primeiro calculamos o vetor diretor
\vec v = B - A = (-3-1,\,-1+4,\,2-7) = (-4,\,3,\,-5).
A partir de A e \vec v, as equações paramétricas são
\begin{cases} x = 1 - 4t,\\\ y = -4 + 3t,\\\ z = 7 - 5t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
E as equações simétricas correspondentes são
\frac{x-1}{-4} \;=\;\frac{y+4}{3}\;=\;\frac{z-7}{-5}.

Passo 3

Para o ponto P=(2,5,-6), igualamos à forma paramétrica:
1 - 4t = 2 \implies -4t = 1 \implies t = -\tfrac14.
Com este t, calculemos y:
y = -4 + 3\Bigl(-\tfrac14\Bigr) = -4 - \tfrac34 = -\tfrac{19}{4} \neq 5.
Como não se obtém y=5, o ponto P não satisfaz todas as equações de r; logo, P\notin r.

Passo 4

Para o ponto Q=(13,-13,22), impomos
1 - 4t = 13 \implies -4t = 12 \implies t = -3.
Verificando y e z com t=-3:
y = -4 + 3(-3) = -4 - 9 = -13,\quad z = 7 - 5(-3) = 7 + 15 = 22,
que coincidem com as coordenadas de Q. Logo, Q\in r.

Resposta

a) Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 1 - 4t,\\\ y = -4 + 3t,\\\ z = 7 - 5t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R};\nequações simétricas:
\frac{x-1}{-4} = \frac{y+4}{3} = \frac{z-7}{-5}.
b) O ponto P não pertence a r, e o ponto Q pertence a r.

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