Uma formiga desloca-se em uma trajetória retilínea partindo do ponto P=(-3,4,-1) e passando pelo ponto Q=(2,-3,-5). Enquanto isso, um tamanduá segue a trajetória retilínea definida pelos pontos R=(1,-6,5) e T=(-5,20,-27). Com base nessas informações, responda: as trajetórias da formiga e do tamanduá se cruzam? Se sim, quais as coordenadas do ponto de encontro?

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias retilíneas em \mathbb{R}^3: a formiga parte de P=(-3,4,-1) em direção a Q=(2,-3,-5) e o tamanduá vai de R=(1,-6,5) até T=(-5,20,-27). Precisamos verificar se essas retas se intersectam e, em caso afirmativo, achar o ponto de interseção usando equações paramétricas.

Passo 2

Escrevemos a reta da formiga parametrizada por u\in\mathbb{R}:
L_{\text{formiga}}(u)=P+u\,(Q-P)=(-3,4,-1)+u\,(5,-7,-4).
E a reta do tamanduá por v\in\mathbb{R}:
L_{\text{tamanduá}}(v)=R+v\,(T-R)=(1,-6,5)+v\,(-6,26,-32).á

Passo 3

Para haver interseção, deve existir u,v tais que
(-3+5u,\;4-7u,\;-1-4u)\;=\;(1-6v,\;-6+26v,\;5-32v).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -3 + 5u = 1 - 6v,\\\\ 4 - 7u = -6 + 26v,\\\\ -1 - 4u = 5 - 32v. \end{cases}

Passo 4

Das duas primeiras equações temos
\begin{cases} 5u + 6v = 4,\\\\ 7u + 26v = 10. \end{cases}
Da primeira vem u = \tfrac{4-6v}{5}. Substituindo na segunda:
7\frac{4-6v}{5} + 26v = 10 \quad\Longrightarrow\quad 28 + 88v = 50 \quad\Longrightarrow\quad v = \tfrac14,
logo u = \tfrac{4 - 6\cdot\frac14}{5} = 0{,}5. Verifica-se que a terceira equação também se satisfaz com esses valores, confirmando a interseção.

Passo 5

Substituindo u = 0{,}5 em L_{\text{formiga}}(u), obtemos o ponto de encontro:
(-3 + 5\cdot0{,}5,\;4 -7\cdot0{,}5,\;-1 -4\cdot0{,}5) = (-0{,}5,\;0{,}5,\;-3).

Resposta

Sim, as trajetórias se cruzam no ponto (-0{,}5,\,0{,}5,\,-3).

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