Encontre, pela definição, a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir, onde a e b são constantes reais:
e^t+7;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve uma integração. Precisamos entender como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt , a transformada de Laplace é dada por:
Aqui, é uma variável complexa que geralmente consideramos com parte real positiva para garantir a convergência da integral.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função e^t+7 = e^t cdot e^7 . Antes de mais nada, podemos simplificar a expressão . Sabemos que:
Isso porque a propriedade dos expoentes nos permite separar a expressão.

Passo 4

Substituindo Le^t+7 = integral0^infty e^-st cdot e^t cdot e^7 , dt na definição da transformada de Laplace, temos:
Le^t+7 = e^7 integral0^infty e^-(s-1)t , dt
Podemos reorganizar os termos para facilitar a integração:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral0^infty e^-at , dt = 1a para a > 0 . Sabemos que:
integral0^infty e^-(s-1)t , dt = 1s - 1
No nosso caso, . Para que a integral convirja, precisamos que , ou seja, . Assim, temos:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da transformada de Laplace:
Le^t+7 = e^7 cdot 1s - 1 = e^7s - 1

Resposta

A transformada de Laplace de é .

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