Encontre, pela definição, a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir, onde
e
são constantes reais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve uma integração. Precisamos entender como aplicar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função
, a transformada de Laplace é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa que geralmente consideramos com parte real positiva para garantir a convergência da integral.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Antes de mais nada, podemos simplificar a expressão
. Sabemos que:
Isso porque a propriedade dos expoentes
nos permite separar a expressão.
Passo 4
Substituindo
na definição da transformada de Laplace, temos:
Podemos reorganizar os termos para facilitar a integração:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que:
No nosso caso,
. Para que a integral convirja, precisamos que
, ou seja,
. Assim, temos:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da transformada de Laplace:
Resposta
A transformada de Laplace de
é
.