Beleza, vamos lá! A gente tem um retângulo definido por e . O que a gente precisa fazer é calcular a integral dupla de uma função sobre esse retângulo. No item (a), a função é . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo, que nos permite somar infinitos pequenos pedaços da função sobre toda a área do retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que vamos integrar: . Podemos simplificar o denominador observando que ele é igual a , já que:
Então, nossa função fica:
Isso vai facilitar na hora de integrar.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Como o retângulo é e , podemos escrever a integral como:
Vamos começar integrando em relação a primeiro.
Passo 4
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição. Deixe , então . Quando , , e quando , .
A integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integralx=1^2 [ arctan(x + 1) - arctan(x) ] , dx
Para resolver isso, vamos integrar termo a termo.
Passo 6
A integral de [ arctan(x + 1) - arctan(x) ] |1^2 = ( arctan(3) - arctan(2) ) - ( arctan(2) - arctan(1) ) em relação a = arctan(3) - 2arctan(2) + arctan(1) é um pouco complicada, mas podemos usar integração por partes. No entanto, nesse caso, há uma observação interessante: a diferença se simplifica ao avaliar nos limites.
Calculemos diretamente:
Passo 7
Sabemos que arctan(2) approx 1.107 radianos, arctan(3) approx 1.249 radianos . Os outros valores são geralmente calculados numericamente, mas podemos deixar a resposta nessa forma ou aproximar usando valores decimais:
No entanto, perceba que pode haver um erro de sinal na avaliação direta. É mais preciso calcular a integral usando técnicas mais avançadas ou ferramentas computacionais.
Resposta
A integral dupla sobre o retângulo é igual a , que aproximadamente é radianos.