II. Nos exercícios seguintes, calcule as integrais de superfície integralS F cdot d S para os campos vetoriais F e as superfícies orientadas S indicadas.
F(x, y, z)=(x,-z, y) e S é o pedaço da esfera x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante orientada pela normal apontando para a origem.

Passo 1

Vamos calcular o fluxo integral duplaSvec Fcdot dvec S para vec F(x,y,z)=(x,-z,y) sobre o pedaço da esfera x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante, com normal apontando para a origem. O que precisamos: fórmula de fluxo vec Fcdotvec n,dS, normal à esfera e integral em coordenadas esféricas.

Passo 2

A esfera de raio 2 tem normal unitária para fora dada por hat nout=(x,y,z)/2. Como queremos a normal apontando para a origem (interna), usamos hat n=-hat nout=-(x,y,z)2. Assim
dvec S=hat n,dS=-(x,y,z)2,dS

Passo 3

Agora calculamos o produto interno vec F(x,y,z)cdot(x,y,z):
vec Fcdot(x,y,z)=xcdot x+(-z)cdot y+ycdot z=x^2 -yz+yz =x^2

Passo 4

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vec Fcdot dvec S =-tfrac12,x^2,dS

Passo 5

Para avaliar integral duplaS x^2,dS, parametrize em coordenadas esféricas: x=2sinphicostheta, dS=R^2sinphi,dphi,dtheta=4sinphi,dphi,dtheta, com phi,thetain[0,pi/2]. Então
integral duplaS x^2,dS=integral0^pi/2!integral0^pi/2(2sinphicostheta)^2cdot4sinphi,dtheta,dphi =16!integral0^pi/2!integral0^pi/2sin^3phi,cos^2theta,dtheta,dphi

Passo 6

Separe as integrais: integral0^pi/2cos^2theta,dtheta=pi/4 e integral0^pi/2sin^3phi,dphi=2/3. Então
integral duplaS x^2,dS=16cdotpi4cdot23=8pi3

Passo 7

Finalmente, o fluxo é
integral duplaSvec Fcdot dvec S = -tfrac12cdot 8pi3 = -4pi3

Resposta

(-\frac{4\pi}{3})

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