II. Nos exercícios seguintes, calcule as integrais de superfície
para os campos vetoriais
e as superfícies orientadas
indicadas.
e
é o pedaço da esfera
no primeiro octante orientada pela normal apontando para a origem.
Passo 1
Vamos calcular o fluxo
para
sobre o pedaço da esfera
no primeiro octante, com normal apontando para a origem. O que precisamos: fórmula de fluxo
, normal à esfera e integral em coordenadas esféricas.
Passo 2
A esfera de raio
tem normal unitária para fora dada por
. Como queremos a normal apontando para a origem (interna), usamos
. Assim
Passo 3
Agora calculamos o produto interno
:
Passo 4
Logo
Passo 5
Para avaliar
, parametrize em coordenadas esféricas:
,
, com
. Então
Passo 6
Separe as integrais:
e
. Então
Passo 7
Finalmente, o fluxo é
Resposta
(-\frac{4\pi}{3})