Inverta a ordem de integração.
integral0^pi4[integral0^tan x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Nesse exercício, a gente tem a integral original integral0^pi/4l[integral0^tan xf(x,y),dyr]dx. O conteúdo é troca de ordem de integração de integrais duplas, que exige identificar a região de integração no plano xy e reescrever os limites.

Passo 2

Vamos entender o domínio D descrito pela integral original. Para cada xin[0,pi/4], y varia de 0 até tan x. Logo o conjunto D é dado por
D = (x,y)mid 0 <= x <= pi/4,;0 <= y <= tan x

Passo 3

Para inverter a ordem, veja quais valores de y aparecem em D. Como o maior x é pi/4, o maior y é tan(pi/4)=1. E o menor é 0. Logo yin[0,1].

Passo 4

Agora, fixando um y em [0,1], precisamos de tan x>= y, isto é x>=arctan y. E como x também está limitado por pi/4, concluímos
arctan y <= x <= pi/4

Passo 5

Com esses limites, a integral com a ordem invertida fica
integraly=0^1integralx=arctan y^pi/4f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^1integralarctan y^pi/4f(x,y),dx,dy

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