Encontre pela definição a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
(a) f(t)=t,
(b) f(t)=t^{2},
(c) f(t)=t^{3}.
Baseado nos resultados acima, intua uma fórmula para a transformada de f(t)=t^{n}, n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente três cálculos e uma intuição geral:
  • Calcular pela definição a transformada de Laplace de f(t)=t.
  • Calcular pela definição a transformada de Laplace de f(t)=t^{2}.
  • Calcular pela definição a transformada de Laplace de f(t)=t^{3}.
  • A partir desses resultados, intuir (e justificar) uma fórmula para \;f(t)=t^{n},\; n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A definição da transformada de Laplace será usada (ou seja, integrais impróprias de 0 a \infty com o fator e^{-st}).
  • Não foi dada outra restrição, portanto devemos assumir a condição usual de convergência: os resultados válidos para s>0 (explicarei isso adiante).

Passo 2

Recordando a definição e a ferramenta que vou usar (dou uma mini-aula curta aqui porque essa parte costuma confundir):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) razoável, a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}(s) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui a variável transformada é s (um número real, normalmente exigimos s>0 para garantir convergência das integrais que aparecerão).
  • Técnica principal: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas que fazemos para tornar a integral mais simples. No contexto de \int_0^\infty t^n e^{-st}\,dt a escolha típica é tomar u=t^n (deriva para algo mais simples) e dv=e^{-st}dt (integra facilmente).
  • Observação sobre limites: em todos os cálculos iremos usar que, para s>0,
\lim_{t\to\infty} t^k e^{-st} = 0\quad\text{para todo inteiro }k\ge 0,
o que garante que termos de contorno do tipo [t^k e^{-st}]_{0}^{\infty} desaparecem no infinito.

Passo 3

Cálculo de \mathcal{L}\{t\}(s) pela definição, passo a passo.
  • Escrevo a integral:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt.
  • Uso integração por partes. Escolho u=t e dv=e^{-st}dt. Então du=dt e v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-st}.
  • Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du com os limites de 0 a \infty:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt = \left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s}e^{-st}\,dt.
  • Avalio o termo de contorno. Para s>0, \lim_{t\to\infty} t e^{-st}=0. No t=0 o termo vale 0. Logo o colchete dá 0.
  • Resta
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
  • A integral remanescente é fácil:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s}.
  • Portanto
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}},
válido para s>0.

Passo 4

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{2}\}(s) de maneira análoga, com todos os detalhes.
  • Começo pela definição:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt.
  • Integração por partes: escolha u=t^{2}, dv=e^{-st}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}.
  • Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{2t}{s} e^{-st}\,dt.
  • O termo de contorno é zero (pois t^{2}e^{-st}\to 0 quando t\to\infty para s>0, e vale 0 em 0). Assim
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt = \frac{2}{s} \int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt.
  • Reconheço que a integral à direita é justamente \mathcal{L}\{t\}(s), que calculei no passo anterior e vale \dfrac{1}{s^{2}}.
  • Logo
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s) = \frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{t^{3}\}(s) usando o mesmo raciocínio recursivo.
  • Pela definição:
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt.
  • Integração por partes: escolha u=t^{3}, dv=e^{-st}dt. Então du=3t^{2}\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}.
  • Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{t^{3}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{3t^{2}}{s} e^{-st}\,dt.
  • Termo de contorno nulo para s>0. Então
\int_{0}^{\infty} t^{3} e^{-st}\,dt = \frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-st}\,dt.
  • Usei o resultado do passo anterior \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}. Assim
\mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{3}{s}\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{6}{s^{4}}.
  • Note que 6=3!, então o resultado já sugere um padrão factorial.

Passo 6

Intuição e prova da fórmula geral para \mathcal{L}\{t^{n}\}(s).
  • A partir das integrais anteriores percebe-se a relação recursiva obtida por integração por partes em geral: para n\ge 1,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-st}\,dt = \frac{n}{s}\int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-st}\,dt = \frac{n}{s}\,\mathcal{L}\{t^{n-1}\}(s).
  • Mostro por indução simples que essa relação leva à fórmula fechada:
    • Base: para n=0, \mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s}=\dfrac{0!}{s^{0+1}}.
    • Passo indutivo: suponha que \mathcal{L}\{t^{k}\}(s)=\dfrac{k!}{s^{k+1}} para algum k\ge 0. Então, usando a relação recursiva,
    \mathcal{L}\{t^{k+1}\}(s)=\frac{k+1}{s}\mathcal{L}\{t^{k}\}(s) =\frac{k+1}{s}\cdot\frac{k!}{s^{k+1}}=\frac{(k+1)!}{s^{(k+1)+1}}.Assim a fórmula vale para k+1. Pelo princípio da indução, vale para todo n\in\mathbb{N}.
  • Portanto obtemos a fórmula geral
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},
válida para s>0 e n\in\mathbb{N}.
  • Observação final (intuitiva): essa fórmula também pode ser vista como um caso particular da relação com a função Gamma, já que \Gamma(n+1)=n! para inteiro n, e a transformada de Laplace de t^{\alpha-1} é \Gamma(\alpha)/s^{\alpha} quando \alpha>0. Mas a prova por partes e indução é suficiente e mais elementar para n\in\mathbb{N}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}} for s>0
(b) \displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}} for s>0
(c) \displaystyle \mathcal{L}\{t^{3}\}(s)=\frac{6}{s^{4}} for s>0
Fórmula geral: \displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}} para n\in\mathbb{N} e s>0.

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