Encontre pela definição a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
(a)
,
(b)
,
(c)
.
Baseado nos resultados acima, intua uma fórmula para a transformada de
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede explicitamente três cálculos e uma intuição geral:
- Calcular pela definição a transformada de Laplace de
. - Calcular pela definição a transformada de Laplace de
. - Calcular pela definição a transformada de Laplace de
. - A partir desses resultados, intuir (e justificar) uma fórmula para
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A definição da transformada de Laplace será usada (ou seja, integrais impróprias de
a com o fator ). - Não foi dada outra restrição, portanto devemos assumir a condição usual de convergência: os resultados válidos para
(explicarei isso adiante).
Passo 2
Recordando a definição e a ferramenta que vou usar (dou uma mini-aula curta aqui porque essa parte costuma confundir):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
razoável, a transformada de Laplace é
Aqui a variável transformada é
(um número real, normalmente exigimos
para garantir convergência das integrais que aparecerão).
- Técnica principal: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhas que fazemos para tornar a integral mais simples. No contexto de
a escolha típica é tomar
(deriva para algo mais simples) e
(integra facilmente).
- Observação sobre limites: em todos os cálculos iremos usar que, para
,
o que garante que termos de contorno do tipo
desaparecem no infinito.
Passo 3
Cálculo de
pela definição, passo a passo.
- Escrevo a integral:
- Uso integração por partes. Escolho
e . Então e . - Aplicando a fórmula
com os limites de a :
- Avalio o termo de contorno. Para
, . No o termo vale . Logo o colchete dá . - Resta
- A integral remanescente é fácil:
- Portanto
válido para
.
Passo 4
Cálculo de
de maneira análoga, com todos os detalhes.
- Começo pela definição:
- Integração por partes: escolha
, . Então e . - Aplicando a fórmula:
- O termo de contorno é zero (pois
quando para , e vale em ). Assim
- Reconheço que a integral à direita é justamente
, que calculei no passo anterior e vale . - Logo
Passo 5
Cálculo de
usando o mesmo raciocínio recursivo.
- Pela definição:
- Integração por partes: escolha
, . Então e . - Aplicando a fórmula:
- Termo de contorno nulo para
. Então
- Usei o resultado do passo anterior
. Assim
- Note que
, então o resultado já sugere um padrão factorial.
Passo 6
Intuição e prova da fórmula geral para
.
- A partir das integrais anteriores percebe-se a relação recursiva obtida por integração por partes em geral: para
,
- Mostro por indução simples que essa relação leva à fórmula fechada:
- Base: para
, . - Passo indutivo: suponha que
para algum . Então, usando a relação recursiva,
Assim a fórmula vale para . Pelo princípio da indução, vale para todo . - Base: para
- Portanto obtemos a fórmula geral
válida para
e
.
- Observação final (intuitiva): essa fórmula também pode ser vista como um caso particular da relação com a função Gamma, já que
para inteiro , e a transformada de Laplace de é quando . Mas a prova por partes e indução é suficiente e mais elementar para .
Resposta
(a)
for
(b) for
(c) for
Fórmula geral: para
e
.
(b)
(c)
Fórmula geral: