Encontre a densidade de carga para a qual o campo elétrico, em coordenadas cilíndricas, é igual a

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico em coordenadas cilíndricas
E = a,zr,hat r ;+; b,r,hatphi ;+; c,r^2,z^2,hat z
e pede a densidade de carga rho. Vamos usar a forma diferencial da Lei de Gauss, isto é,
nablacdotE ;=;rhovarepsilon0,

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o divergente de E=(Er,Ephi,Ez) é
nablacdotE =1r,partialpartial rl(r,Err) +1r,partial Ephipartialphi +partial Ezpartial z,
Aqui temos
Er=a,zr, Ephi=b,r, Ez=c,r^2,z^2
e não há dependência em phi.

Passo 3

Calculando o termo radial e o termo azimutal:
r,Er = a,zLongrightarrow partialpartial r(r,Er)=0,
e como não há phi-dependência,
1r,partial Ephipartialphi=0

Passo 4

Calculando o termo axial:
partial Ezpartial z =partialpartial zl(c,r^2,z^2r) =2,c,r^2,z
Logo o divergente é
nablacdotE=0+0+2,c,r^2,z=2,c,r^2,z

Passo 5

Pela Lei de Gauss diferencial,
rho=varepsilon0,nablacdotE =2,varepsilon0,c,r^2,z

Resposta

rho(r,phi,z)=2,varepsilon0,c,r^2,z

Exercícios relacionados