Em uma região do espaço, há um campo elétrico dado por
E(x, y, z)=4 x y i+2 x^2 j+k
Determine a densidade de carga correspondente para esse campo.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico
E(x,y,z) = 4,x,y,i + 2,x^2,j + k
e pede a densidade de carga rho que o gera. O conteúdo aqui é a Lei de Gauss no seu formato diferencial, que relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade de carga.

Passo 2

A Lei de Gauss no formato diferencial diz que
nablacdot E = rhovarepsilon0,
onde varepsilon0 é a permissividade do vácuo. Logo, para achar rho, basta calcular nablacdotE e multiplicar por varepsilon0.

Passo 3

Vamos calcular a divergência
nablacdotE = partialpartial x(4xy) + partialpartial y(2x^2) + partialpartial z(1)
Isso dá
partialpartial x(4xy) = 4y, partialpartial y(2x^2) = 0, partialpartial z(1) = 0,
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nablacdotE = 4y

Passo 4

Usando rho = varepsilon0,nablacdotE, obtemos
rho(x,y,z) = varepsilon0,(4y) = 4,varepsilon0,y

Resposta

rho(x,y,z) = 4,varepsilon0,y

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