(a) Encontre a densidade de probabilidade de posição, corretamente normalizada, para uma partícula de massa
cuja a função de onda é dada por
, na qual
e
são constantes reais e positivas. Em outras palavras, determine a constante multiplicativa
tal que a densidade de probabilidade de posição esteja corretamente normalizada. Para resolver este item, pode ser útil saber que
, se
.
(b) Com a densidade normalizada, determine a probabilidade de encontrar a partícula na posição
. É bom ressaltar que qualquer cálculo de probabilidade só faz sentido se a distribuição de probabilidade estiver normalizada.
© Supondo que o cenário físico que define este problema é a energia potencial
, encontre a energia
da partícula.
(b) Com a densidade normalizada, determine a probabilidade de encontrar a partícula na posição
© Supondo que o cenário físico que define este problema é a energia potencial
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo três coisas:
- Normalizar a função de onda
- Com essa normalização achar a probabilidade de achar a partícula exatamente em
- Sabendo que o potencial é
, descobrir a energia da partícula
Conteúdo que a gente usa:
- Integral gaussiana
- Densidade de probabilidade
e condição de normalização - Para estado estacionário: fator de fase temporal
Passo 2
Normalização da função de onda
- A gente tem
.
Como, impomos
- Usando a integral gaussiana com
,
- Fica
escolhendo
real e positivo.
Passo 3
Probabilidade de achar a partícula em
Num sistema contínuo, a probabilidade de estar exatamente em um ponto é zero, porque
.
Passo 4
Energia
do estado estacionário
No enunciado, o fator de fase temporal vem como
.
Mas, em mecânica quântica, para um estado estacionário a gente tem
.
Igualando
Mas, em mecânica quântica, para um estado estacionário a gente tem
Igualando
Se o exercício chama o
de
, basta trocar pelo
:
.
Resposta
A constante de normalização é
A probabilidade em
é
A energia da partícula no potencial harmônico é
(ou, trocando
por
,
).
A energia da partícula no potencial harmônico é