(a) Encontre a densidade de probabilidade de posição, corretamente normalizada, para uma partícula de massa m cuja a função de onda é dada por Psi(x, t)=A e^-raizk m2 h x^2 e^-i t2 raizk / m, na qual A e k são constantes reais e positivas. Em outras palavras, determine a constante multiplicativa A tal que a densidade de probabilidade de posição esteja corretamente normalizada. Para resolver este item, pode ser útil saber que integral-infty^infty e^-b x^2 d x=raizpib, se b>0.
(b) Com a densidade normalizada, determine a probabilidade de encontrar a partícula na posição x=-1. É bom ressaltar que qualquer cálculo de probabilidade só faz sentido se a distribuição de probabilidade estiver normalizada.
© Supondo que o cenário físico que define este problema é a energia potencial V(x)=k x^2 / 2, encontre a energia E da partícula.

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo três coisas:
  1. Normalizar a função de onda
  2. Com essa normalização achar a probabilidade de achar a partícula exatamente em
  3. Sabendo que o potencial é , descobrir a energia da partícula
Conteúdo que a gente usa:
  • Integral gaussiana
  • Densidade de probabilidade e condição de normalização
  • Para estado estacionário: fator de fase temporal

Passo 2

Normalização da função de onda
  1. A gente tem
    integral-infty^infty|Psi|^2dx =|A|^2integral-infty^inftye^-raizkmhx^2dx =1 .
    Como integral e^-b x^2dx=raiztfracpi b ;;longrightarrow;; integral-infty^infty e^-raizkmhx^2dx =raizpi,hraizkm , impomos
|A|^2raizpi,hraizkm=1 ;;Rightarrow;; |A|^2 =raizraizkmpi,h ;;Rightarrow;; A =l(raizkmpi,hr)^!1/4,
  1. Usando a integral gaussiana com ,
  1. Fica
escolhendo real e positivo.

Passo 3

Probabilidade de achar a partícula em
Num sistema contínuo, a probabilidade de estar exatamente em um ponto é zero, porque
.

Passo 4

Energia Ehbar=12raizkm ;;Longrightarrow;; E=hbar2raizkm do estado estacionário
No enunciado, o fator de fase temporal vem como
.
Mas, em mecânica quântica, para um estado estacionário a gente tem
.
Igualando
Se o exercício chama o de , basta trocar pelo :
.

Resposta

A constante de normalização é
boxedA=l(tfracraizkmpi,hr)^1/4
A probabilidade em é

A energia da partícula no potencial harmônico é
(ou, trocando por , ).

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