(a) Se o próton é representado por uma onda estacionária unidimensional, com um nó em cada parede, mostre que os valores permitidos para o comprimento de onda são dados por lambda=2 L / n, onde n é um número inteiro positivo.
(b) Com base nesses comprimentos de onda, encontre uma expressão geral para a energia cinética do próton (válida para qualquer n ).
© Determine, então, seus valores específicos para n=1 e n=2, considerando que L= 0,01 nm e que a massa do próton é 1,67 times 10^-27 kg.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um próton preso numa “caixinha” unidimensional de comprimento , com potencial infinito nas paredes (logo, a função de onda é zero nas bordas).
Conteúdo: Partícula num poço infinito (quantização de estados).
O que vamos precisar:
  • Condição de contorno para ondas estacionárias (nós nas paredes).
  • Relação de De Broglie e energia cinética clássica .

Passo 2

(a) Mostrar que L = n,lambda2, n=1,2,3,dots.
  1. Numa onda estacionária 1D com nós nas duas extremidades separadas por lambda = 2Ln, o comprimento de onda deve se “encaixar” como metades inteiras dentro de :
  2. Isolando :

Passo 3

(b) Expressão geral para a energia cinética pn = hlambda = h2L/n = h,n2L.
  1. A gente usa En = pn^22m = 12ml(h,n2Lr)^2 = h^2,n^28,m,L^2. Como ,
  2. A energia cinética é

Passo 4

© Calcular E1 = (6,626times10^-34)^28,(1,67times10^-27),(1,0times10^-11)^2 approx 3,3times10^-19,J e E2 = h^2,(2)^28,m,L^2 = 4,E1 approx 1,3times10^-18,J para e
.
  1. Constante de Planck: .
  2. Para :
  3. Para :

Resposta

(a) .
(b) .
©

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