Encontre dy / dx por derivação implícita.
x^2 y^2+x tan y=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita juntos! A gente precisa encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx , para a equação dada:
x^2 y^2 + x tan y = 4
Vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para derivar equações onde y está misturado com x .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que y é uma função de x , então sempre que derivarmos algo que envolva y , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo: x^2 y^2 .
Usamos a regra do produto aqui, porque temos x^2 multiplicado por y^2 .
Derivando x^2 em relação a x , temos 2x .
Derivando y^2 em relação a x , usamos a regra da cadeia: 2y cdot dydx .
Então, a derivada do primeiro termo é:
2x y^2 + x^2 cdot 2y cdot dydx

Passo 4

Agora, vamos derivar o segundo termo: x tan y .
Novamente, usamos a regra do produto.
Derivando x em relação a x , temos 1 .
Derivando tan y em relação a x , usamos a regra da cadeia: sec^2 y cdot dydx .
Então, a derivada do segundo termo é:
tan y + x cdot sec^2 y cdot dydx

Passo 5

A derivada do lado direito da equação, que é 4 , é simplesmente 0 , porque a derivada de uma constante é zero.
Então, juntando tudo, temos:
2x y^2 + 2x^2 y cdot dydx + tan y + x cdot sec^2 y cdot dydx = 0

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos que contêm dydx e os que não contêm.
(2x^2 y + x cdot sec^2 y) cdot dydx = -2x y^2 - tan y

Passo 7

Finalmente, isolamos dydx dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica dydx :
dydx = -2x y^2 - tan y 2x^2 y + x cdot sec^2 y

Resposta

A derivada dydx é:
dydx = -2x y^2 - tan y 2x^2 y + x cdot sec^2 y

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