Encontre dy / dx por derivação implícita.
e^x y=x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar dydx usando derivação implícita. A equação que temos é e^x y = x + y . Para isso, vamos precisar entender como diferenciar funções que têm y dependente de x .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . Isso significa aplicar a derivada em e^x y e também em x + y .

Passo 3

Vamos começar derivando o lado esquerdo e^x y . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a x é e^u cdot dudx , onde u = x y .
Então, derivando e^x y :
ddx(e^x y) = e^x y cdot ( y + x cdot dydx )
Aqui, usamos a regra do produto para derivar x y : a derivada de x é 1, e a derivada de y é dydx .

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito x + y :
ddx(x + y) = 1 + dydx

Passo 5

Igualamos as derivadas dos dois lados:
e^x y cdot ( y + x cdot dydx ) = 1 + dydx
Vamos isolar dydx . Primeiro, distribuímos e^x y :
e^x y y + e^x y x cdot dydx = 1 + dydx
Vamos juntar os termos com dydx de um lado e os demais de outro:
e^x y x cdot dydx - dydx = 1 - e^x y y
Fatoramos dydx :
dydx cdot ( e^x y x - 1 ) = 1 - e^x y y

Passo 6

Finalmente, isolamos dydx :
dydx = 1 - e^x y ye^x y x - 1

Resposta

dydx = 1 - e^x y ye^x y x - 1

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