Encontre dy / dx por derivação implícita.
arctan (x^3 y)=x+x y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar dydx , que é a derivada de y em relação a x , usando derivação implícita na equação:
arctan(x^3 y) = x + x y^2
Para resolver isso, vamos aplicar as regras de derivação, especialmente a derivação implícita, já que y está relacionada a x de forma não explícita na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . Lembre-se que quando derivamos uma função que envolve y , precisamos usar a regra da cadeia, multiplicando pelo dydx .

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
ddx [ arctan(x^3 y) ]
Usamos a regra da cadeia para derivar arctan(u) , onde u = x^3 y :
11 + u^2 cdot dudx = 11 + (x^3 y)^2 cdot ( 3x^2 y + x^3 dydx )

Passo 4

Derivando o lado direito:
ddx [ x + x y^2 ] = 1 + ddx(x y^2)
Para derivar x y^2 , usamos a regra do produto:
ddx(x y^2) = y^2 + x cdot 2y dydx
Então, o lado direito fica:
1 + y^2 + 2x y dydx

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
11 + x^6 y^2 cdot ( 3x^2 y + x^3 dydx ) = 1 + y^2 + 2x y dydx

Passo 6

Vamos isolar dydx . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 1 + x^6 y^2 para eliminar o denominador:
3x^2 y + x^3 dydx = (1 + y^2 + 2x y dydx)(1 + x^6 y^2)

Passo 7

Expandindo o lado direito:
3x^2 y + x^3 dydx = 1 + y^2 + x^6 y^2 + 2x y dydx + 2x^7 y^3 dydx

Passo 8

Reorganizando os termos para reunir os que contêm dydx :
x^3 dydx - 2x y dydx - 2x^7 y^3 dydx = 1 + y^2 + x^6 y^2 - 3x^2 y

Passo 9

Fatorando dydx do lado esquerdo:
dydx (x^3 - 2x y - 2x^7 y^3) = 1 + y^2 + x^6 y^2 - 3x^2 y

Passo 10

Isolando dydx :
dydx = 1 + y^2 + x^6 y^2 - 3x^2 yx^3 - 2x y - 2x^7 y^3

Resposta

A derivada dydx é:
dydx = 1 + y^2 + x^6 y^2 - 3x^2 yx^3 - 2x y - 2x^7 y^3

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