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por derivação implícita.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, usando a derivação implícita. A derivação implícita é útil quando temos uma equação que relaciona
e
de forma que não está resolvida para
. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Derivando
:
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Derivando
:
Então, a derivada do lado direito fica:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação:
Vamos simplificar ambos os lados para facilitar o isolamento de
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador do lado esquerdo:
Vamos distribuir o fator do lado direito:
Passo 7
Agora, queremos isolar
. Vamos rearranjar os termos para reunir os que contêm
:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando
:
Podemos simplificar ainda mais, mas essa é a expressão geral para
.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: