Encontre dy / dx por derivação implícita.
raizx^2+y=arcsen(x^4+y^4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx , usando a derivação implícita. A derivação implícita é útil quando temos uma equação que relaciona x e y de forma que não está resolvida para y . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
raizx^2 + y = arcsin(x^4 + y^4)
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo raizx^2 + y . Sabemos que a derivada de raizu em relação a u é 12raizu . Aplicando a regra da cadeia:
ddx(raizx^2 + y) = 12raizx^2 + y cdot ddx(x^2 + y)
Derivando x^2 + y :
ddx(x^2 + y) = 2x + dydx
Então, a derivada do lado esquerdo fica:
12raizx^2 + y cdot (2x + dydx)

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito arcsin(x^4 + y^4) . Sabemos que a derivada de arcsin(u) em relação a u é 1raiz1 - u^2 . Aplicando a regra da cadeia:
ddx(arcsin(x^4 + y^4)) = 1raiz1 - (x^4 + y^4)^2 cdot ddx(x^4 + y^4)
Derivando x^4 + y^4 :
ddx(x^4 + y^4) = 4x^3 + 4y^3 cdot dydx
Então, a derivada do lado direito fica:
1raiz1 - (x^4 + y^4)^2 cdot (4x^3 + 4y^3 cdot dydx)

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação:
12raizx^2 + y cdot (2x + dydx) = 1raiz1 - (x^4 + y^4)^2 cdot (4x^3 + 4y^3 cdot dydx)
Vamos simplificar ambos os lados para facilitar o isolamento de dydx .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2raizx^2 + y para eliminar o denominador do lado esquerdo:
2x + dydx = 2raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2 cdot (4x^3 + 4y^3 cdot dydx)
Vamos distribuir o fator do lado direito:
2x + dydx = 8x^3raizx^2 + y + 8y^3raizx^2 + y cdot dydxraiz1 - (x^4 + y^4)^2

Passo 7

Agora, queremos isolar dydx . Vamos rearranjar os termos para reunir os que contêm dydx :
dydx - 8y^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2 cdot dydx = 8x^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2 - 2x
Fatorando dydx do lado esquerdo:
dydx (1 - 8y^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2) = 8x^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2 - 2x

Passo 8

Finalmente, isolamos dydx dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando dydx :
dydx = 8x^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2 - 2x1 - 8y^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2
Podemos simplificar ainda mais, mas essa é a expressão geral para dydx .

Resposta

A derivada de y em relação a x é:
dydx = dfrac8x^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2 - 2x1 - dfrac8y^3raizx^2 + yraiz1 - (x^4 + y^4)^2

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