Encontre a derivada.
(b) F(x)=integraltan x^3 e^t1+t d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=integraltan x^3e^t1+t,dt
Aqui o conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt
então
F'(x)=f(b(x)),b'(x)-f(a(x)),a'(x)
No nosso caso, b(x)=3 e a(x)=tan x, então b'(x)=0 e a'(x)=sec^2x.

Passo 3

Substituindo f(t)=e^t1+t, obtemos
F'(x)=0-e^tan x1+tan xcdotsec^2x = -e^tan x1+tan x,sec^2x

Resposta

F’(x) = -\frac{e^{\tan x}}{1+\tan x},\sec^2x

Exercícios relacionados