Encontre a solução geral da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem
t y^prime(t)+y(t)=raizt(t>0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de 1ª ordem
t,y'(t)+y(t)=raizt, t>0
Aqui o conteúdo é resolução de equações lineares de 1ª ordem usando fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y'+p(t)y=q(t). Dividindo por t (que é positivo), obtemos
y'(t)+1ty(t)=t^-1/2

Passo 3

Agora identificamos o fator integrante mu(t), que é dado por mu(t)=e^integral p(t),dt=e^integral(1/t),dt=e^ln t=t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=t, ficando
t,y'(t)+y(t)=tcdot t^-1/2=t^1/2
No lado esquerdo reconhecemos a derivada ddt[t,y(t)].

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
ddt[t,y(t)]=t^1/2Longrightarrow t,y(t)=integral t^1/2,dt+ C=23t^3/2+C

Passo 6

Por fim, isolamos y(t):
y(t)=23t^1/2+Ct, CinR

Resposta

y(t)=tfrac23raizt+tfracCt, CinR

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