Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
(b) f(t)=t \log _{10} t

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \;f(t)=t\log_{10}t\;: (a) encontrar a derivada \;f'(t)\; e (b) identificar o domínio de \;f\; e o domínio de \;f'. As informações dadas são apenas a expressão da função \;f(t)=t\log_{10}t\;.

Passo 2

Primeiro vamos listar as restrições óbvias da função: o logaritmo \log_{10}t só está definido quando \;t>0\;. Portanto qualquer ponto do domínio da função deve satisfazer \;t>0\;. Concluímos que o domínio natural de \;f\; é o intervalo
(0,\infty).
Explicação curta: \log_{10}t é a função logarítmica de base 10; ela só aceita argumentos positivos. Assim não podemos ter t=0 nem t<0.

Passo 3

Agora vamos lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas devagarinho):
  1. Regra do produto. Se \;u(t)\; e \;v(t)\; são funções diferenciáveis, então a derivada de \;u(t)v(t)\; é
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)v(t)\bigr)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Aqui u'(t) significa a derivada de u em relação a t; a regra diz que derivamos uma das funções e multiplicamos pela outra, somando o caso trocado.
  1. Derivada do logaritmo na base a. Para a>0, a\neq1, vale
\frac{d}{dt}\bigl(\log_a t\bigr)=\frac{1}{t\ln a},
válido para t>0. Isso vem da mudança de base \log_a t=\dfrac{\ln t}{\ln a} e da derivada \dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{t}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo na nossa função.

Passo 4

Identificamos as duas funções do produto:
u(t)=t,\qquad v(t)=\log_{10}t.
Calculamos as derivadas parciais:
  • Derivada de u: u'(t)=1 porque a derivada de t em relação a t é 1.
  • Derivada de v: usando a fórmula do logaritmo na base 10,
v'(t)=\frac{1}{t\ln 10},
válido para t>0.
Agora aplicamos a regra do produto:
f'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=1\cdot\log_{10}t + t\cdot\frac{1}{t\ln 10}.
Simplificando o segundo termo (o t do numerador cancela com o t do denominador),
f'(t)=\log_{10}t + \frac{1}{\ln 10}.

Passo 5

Alternativa de escrita (útil na prova): usar a mudança de base \log_{10}t=\dfrac{\ln t}{\ln 10}. Então
f(t)=\frac{t\ln t}{\ln 10}
e usando a regra do produto com \ln obtemos
f'(t)=\frac{\ln t + 1}{\ln 10},
que é algebraicamente equivalente à forma anterior porque
\frac{\ln t + 1}{\ln 10}=\frac{\ln t}{\ln 10}+\frac{1}{\ln 10}=\log_{10}t+\frac{1}{\ln 10}.

Passo 6

Domínio da derivada: todas as manipulações pedem t>0 (para \log_{10}t e para \frac{1}{t} na derivada do log). Não aparece nenhuma outra restrição depois da simplificação. Logo f' está definida para todos os t tais que t>0. Em notação de intervalo, o domínio de f' é
(0,\infty).
Observação motivadora: a função é diferenciável em todo ponto interior do domínio original, isto é, para todo t>0.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: em t=1 temos \log_{10}1=0, então
f'(1)=0+\frac{1}{\ln 10}=\frac{1}{\ln 10}\approx 0,434294\ldots
Isso mostra como avaliar a fórmula na prática.

Resposta

Domínio de f: (0,\infty)
f'(t)=\log_{10}t+\frac{1}{\ln 10} = \frac{\ln t + 1}{\ln 10}
Domínio de f': (0,\infty)

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