Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
(a) encontrar a derivada
e (b) identificar o domínio de
e o domínio de
. As informações dadas são apenas a expressão da função
.
Passo 2
Primeiro vamos listar as restrições óbvias da função: o logaritmo
só está definido quando
. Portanto qualquer ponto do domínio da função deve satisfazer
. Concluímos que o domínio natural de
é o intervalo
Explicação curta:
é a função logarítmica de base
; ela só aceita argumentos positivos. Assim não podemos ter
nem
.
Passo 3
Agora vamos lembrar as regras de diferenciação que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Regra do produto. Se
e são funções diferenciáveis, então a derivada de é
Aqui
significa a derivada de
em relação a
; a regra diz que derivamos uma das funções e multiplicamos pela outra, somando o caso trocado.
- Derivada do logaritmo na base
. Para , , vale
válido para
. Isso vem da mudança de base
e da derivada
.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo na nossa função.
Passo 4
Identificamos as duas funções do produto:
Calculamos as derivadas parciais:
-
Derivada de
: porque a derivada de em relação a é . -
Derivada de
: usando a fórmula do logaritmo na base ,
válido para
.
Agora aplicamos a regra do produto:
Simplificando o segundo termo (o
do numerador cancela com o
do denominador),
Passo 5
Alternativa de escrita (útil na prova): usar a mudança de base
. Então
e usando a regra do produto com
obtemos
que é algebraicamente equivalente à forma anterior porque
Passo 6
Domínio da derivada: todas as manipulações pedem
(para
e para
na derivada do log). Não aparece nenhuma outra restrição depois da simplificação. Logo
está definida para todos os
tais que
. Em notação de intervalo, o domínio de
é
Observação motivadora: a função é diferenciável em todo ponto interior do domínio original, isto é, para todo
.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar: em
temos
, então
Isso mostra como avaliar a fórmula na prática.
Resposta
Domínio de
:
Domínio de
: