Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função dada usando derivação logarítmica. A função escrita no enunciado é
. Vou tratá‑la como função da variável
; ou seja, a função é
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Por que usar derivação logarítmica? Quando a função tem a variável tanto na base quanto no expoente (forma
), é muito útil tomar logaritmo natural para transformar a potência em produto, porque é mais fácil derivar um produto do que uma potência com expoente variável. Além disso, após tomar logaritmo fazemos diferenciação implícita para voltar à derivada de
.
Passo 3
Começamos definindo
. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
Passo 4
Agora derivamos implicitamente ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, derivada de
em relação a
é
(regra da cadeia, porque
depende de
). No lado direito precisamos derivar o produto
, então usamos a regra do produto:
Pela regra do produto,
Passo 5
Agora calculamos
. Usamos a regra da cadeia: derivada de
é
. Aqui
, então
. Logo
Substituindo isso no passo anterior:
Ou seja,
Passo 6
Agora isolamos
(que é
). Multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, obtemos
Passo 7
Comentário sobre domínio: para aplicar
com valores reais precisamos de
. Portanto a expressão acima é válida nos intervalos onde
(por exemplo
,
). Se
, a expressão
pode ser complexa ou indeterminada para expoentes não inteiros; a derivada real acima não se aplica nesses pontos sem um tratamento adicional.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar a ideia: se tomarmos
, sabemos
e
. A derivada nesse ponto fica
o que mostra como usar a fórmula final na prática.