Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
(f) f(x)=(\cos (t))^{t}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função dada usando derivação logarítmica. A função escrita no enunciado é f(x)=(\cos (t))^{t}. Vou tratá‑la como função da variável t; ou seja, a função é
f(t)=(\cos t)^{t}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Dado: } f(t)=(\cos t)^{t}.
\text{Pedido: } f'(t), \text{ obtida por derivação logarítmica.}çãí

Passo 2

Por que usar derivação logarítmica? Quando a função tem a variável tanto na base quanto no expoente (forma a(t)^{b(t)}), é muito útil tomar logaritmo natural para transformar a potência em produto, porque é mais fácil derivar um produto do que uma potência com expoente variável. Além disso, após tomar logaritmo fazemos diferenciação implícita para voltar à derivada de f.

Passo 3

Começamos definindo y=f(t)=(\cos t)^{t}. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\big((\cos t)^{t}\big).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln a, obtemos
\ln y = t\;\ln(\cos t).

Passo 4

Agora derivamos implicitamente ambos os lados em relação a t. No lado esquerdo, derivada de \ln y em relação a t é \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dt} (regra da cadeia, porque y depende de t). No lado direito precisamos derivar o produto t\cdot \ln(\cos t), então usamos a regra do produto:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\big(t\ln(\cos t)\big).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dt}\big(t\ln(\cos t)\big) = 1\cdot \ln(\cos t) + t\cdot \frac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big).

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big). Usamos a regra da cadeia: derivada de \ln(u) é \dfrac{u'}{u}. Aqui u(t)=\cos t, então u'(t)=-\sin t. Logo
\frac{d}{dt}\big(\ln(\cos t)\big) = \frac{-\sin t}{\cos t} = -\tan t.
Substituindo isso no passo anterior:
\frac{1}{y}\frac{dy}{dt} = \ln(\cos t) + t\cdot\big(-\tan t\big).
Ou seja,
\frac{1}{y}\frac{dy}{dt} = \ln(\cos t) - t\,\tan t.

Passo 6

Agora isolamos \dfrac{dy}{dt} (que é f'(t)). Multiplicamos ambos os lados por y:
\frac{dy}{dt} = y\;\big(\ln(\cos t) - t\,\tan t\big).
Lembrando que y=(\cos t)^{t}, obtemos
\frac{dy}{dt} = (\cos t)^{t}\,\big(\ln(\cos t) - t\,\tan t\big).

Passo 7

Comentário sobre domínio: para aplicar \ln(\cos t) com valores reais precisamos de \cos t>0. Portanto a expressão acima é válida nos intervalos onde \cos t>0 (por exemplo -\tfrac{\pi}{2}+2k\pi < t < \tfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}). Se \cos t\le 0, a expressão (\cos t)^t pode ser complexa ou indeterminada para expoentes não inteiros; a derivada real acima não se aplica nesses pontos sem um tratamento adicional.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar a ideia: se tomarmos t=\tfrac{\pi}{4}, sabemos \cos\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e \tan\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1. A derivada nesse ponto fica
f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\!\tfrac{\pi}{4}}\!\left(\ln\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)-\tfrac{\pi}{4}\right),
o que mostra como usar a fórmula final na prática.

Resposta

f'(t)=(\cos t)^{t}\,\big(\ln(\cos t)-t\,\tan t\big)

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