Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
(e) f(t)=2(\ln (t))^{t / 2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=2(\ln(t))^{t/2} e pede para encontrar a derivada usando a técnica de derivação logarítmica. Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um produto de uma constante 2 por uma potência em que tanto a base quanto o expoente dependem de t: base =\ln(t) e expoente =t/2.
  • Para que (\ln(t))^{t/2} faça sentido como função real com expoente real, precisamos de \ln(t)>0, ou seja t>1. Também vale notar que \ln(t) exige t>0, mas o requisito mais forte é t>1.

Passo 2

Por que usar derivação logarítmica aqui? Quando temos uma expressão onde a variável aparece no expoente e/ou na base (como (\ln t)^{t/2}), é mais simples tomar logaritmo natural para transformar potências em produtos e aplicar regras de derivação mais diretas. A ideia é:
  • tomar \ln dos dois lados da igualdade y=f(t),
  • usar propriedades do logaritmo para simplificar,
  • derivar implicitamente e resolver para f'(t).

Passo 3

Começo aplicando \ln em ambos os lados. Para ficar claro, escrevo f(t) e tomo \ln:
\ln(f(t))=\ln\!\big(2(\ln t)^{t/2}\big).
Usando que \ln(ab)=\ln a+\ln b e \ln(a^b)=b\ln a, obtenho
\ln(f(t))=\ln 2+\frac{t}{2}\ln(\ln t).
Expliquei: \ln 2 vem do fator constante 2 e \frac{t}{2}\ln(\ln t) vem de trazer o expoente para frente.

Passo 4

Agora derivo ambos os lados em relação a t. A derivada de \ln(f(t)) é \dfrac{f'(t)}{f(t)} (regra de derivação de \ln composta). Do lado direito:
  • \dfrac{d}{dt}\ln 2 = 0 porque \ln 2 é constante.
  • preciso derivar \dfrac{t}{2}\ln(\ln t). Aqui uso a regra do produto: se u(t)=\dfrac{t}{2} e v(t)=\ln(\ln t), então (uv)'=u'v+uv'.
    • u'(t)=\dfrac{1}{2}.
    • Para v'(t)=\dfrac{d}{dt}\ln(\ln t) uso cadeia: derivada de \ln(\cdot) é 1/(\cdot) vezes derivada do interior; assim v'(t)=\dfrac{1}{\ln t}\cdot \dfrac{d}{dt}(\ln t)=\dfrac{1}{\ln t}\cdot \dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{t\ln t}.
      Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{2}\ln(\ln t)\right)=\frac{1}{2}\ln(\ln t)+\frac{t}{2}\cdot\frac{1}{t\ln t}.
Simplificando o segundo termo \frac{t}{2}\cdot\frac{1}{t\ln t}=\frac{1}{2\ln t}, então
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t}{2}\ln(\ln t)\right)=\frac{1}{2}\ln(\ln t)+\frac{1}{2\ln t}.

Passo 5

Juntando as partes da derivação implícita:
\frac{f'(t)}{f(t)}=0+\left(\frac{1}{2}\ln(\ln t)+\frac{1}{2\ln t}\right).
Agora isolo f'(t) multiplicando ambos os lados por f(t):
f'(t)=f(t)\left(\frac{1}{2}\ln(\ln t)+\frac{1}{2\ln t}\right).
Lembro que f(t)=2(\ln t)^{t/2}, então substituo:
f'(t)=2(\ln t)^{t/2}\left(\frac{1}{2}\ln(\ln t)+\frac{1}{2\ln t}\right).

Passo 6

Faço uma simplificação final: fator comum \tfrac{1}{2} dentro dos parênteses cancela com o 2 multiplicando:
f'(t)=(\ln t)^{t/2}\left(\ln(\ln t)+\frac{1}{\ln t}\right).
Esse é o resultado simplificado e prático para a derivada.

Resposta

f'(t)=(\ln t)^{t/2}\left(\ln(\ln t)+\dfrac{1}{\ln t}\right)

Exercícios relacionados