Encontre as derivadas das funções usando a técnica de derivação logarítmica.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada usando a técnica de derivação logarítmica. Informações relevantes fornecidas:
- A função é um produto de uma constante
por uma potência em que tanto a base quanto o expoente dependem de : base e expoente . - Para que
faça sentido como função real com expoente real, precisamos de , ou seja . Também vale notar que exige , mas o requisito mais forte é .
Passo 2
Por que usar derivação logarítmica aqui? Quando temos uma expressão onde a variável aparece no expoente e/ou na base (como
), é mais simples tomar logaritmo natural para transformar potências em produtos e aplicar regras de derivação mais diretas. A ideia é:
- tomar
dos dois lados da igualdade , - usar propriedades do logaritmo para simplificar,
- derivar implicitamente e resolver para
.
Passo 3
Começo aplicando
em ambos os lados. Para ficar claro, escrevo
e tomo
:
Usando que
e
, obtenho
Expliquei:
vem do fator constante
e
vem de trazer o expoente para frente.
Passo 4
Agora derivo ambos os lados em relação a
. A derivada de
é
(regra de derivação de
composta). Do lado direito:
-
porque é constante. - preciso derivar
. Aqui uso a regra do produto: se e , então . -
. - Para
uso cadeia: derivada de é vezes derivada do interior; assim .
Portanto
-
Simplificando o segundo termo
, então
Passo 5
Juntando as partes da derivação implícita:
Agora isolo
multiplicando ambos os lados por
:
Lembro que
, então substituo:
Passo 6
Faço uma simplificação final: fator comum
dentro dos parênteses cancela com o
multiplicando:
Esse é o resultado simplificado e prático para a derivada.