Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
(c) f(x)=(3 e)^{x^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função e que eu identifique o domínio da função e o domínio da derivada. A função dada é
f(x)=(3e)^{x^{2}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\;3e é o número 3 multiplicado pela constante de Euler e (logo (3e)>0).
A potência tem expoente x^{2}, que é uma função polinomial de x.
As perguntas são:
\;1) Calcular f'(x).
\;2) Determinar o domínio de f.
\;3) Determinar o domínio de f'.

Passo 2

Vamos lembrar a regra que usamos aqui (essa é a “aula rápida” necessária). Se temos uma função da forma
g(x)=a^{u(x)},
onde a>0 é uma constante e u(x) é uma função diferenciável, então podemos reescrever g usando exponencial natural:
a^{u(x)}=e^{u(x)\ln a}.
Derivando e^{u(x)\ln a} pela regra da cadeia, obtemos a fórmula geral
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\cdot \ln a \cdot u'(x).
Explicando cada pedaço:
  • a^{u(x)} é a própria função original;
  • \ln a é o logaritmo natural da base a (uma constante aqui);
  • u'(x) é a derivada do expoente u(x) com relação a x;
    a multiplicação surge porque derivamos a composição e^{(\cdot)} e usamos a derivada do expoente (regra da cadeia).

Passo 3

Identifico, no nosso caso, a constante e o expoente:
a=3e,\qquad u(x)=x^{2}.
Agora calculo u'(x). Usando a regra do poder (power rule): para u(x)=x^{n} temos u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=2,
u'(x)=2x.
(Um lembrete: a regra do poder é uma das mais básicas — derivada de x^{2} é 2x.)

Passo 4

Aplico a fórmula da derivada para a^{u(x)}:
f'(x)=(3e)^{x^{2}}\cdot \ln(3e)\cdot 2x.
Posso escrever de forma mais limpa:
f'(x)=2x\,\ln(3e)\,(3e)^{x^{2}}.
Também dá para simplificar o logaritmo usando \ln(3e)=\ln 3+\ln e=\ln 3+1. Assim uma forma alternativa é
f'(x)=2x(1+\ln 3)(3e)^{x^{2}}.
Ambas as formas são equivalentes; escolhe a que achar mais clara na prova.

Passo 5

Agora os domínios. Primeiro, o domínio de f. A função f(x)=(3e)^{x^{2}} é uma exponencial com base positiva (3e>0) e expoente real x^{2}. Exponenciais a^{t} com a>0 estão definidas para todo t\in\mathbb{R}. Como x^{2} pode assumir qualquer valor real não-negativo, e em geral o expoente é real, concluímos que f está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 6

Domínio da derivada f'. A expressão que encontramos para f'(x) é
f'(x)=2x\,\ln(3e)\,(3e)^{x^{2}}.
Isto é produto de funções elementares: 2x (polinomial), \ln(3e) (constante) e (3e)^{x^{2}} (exponencial). Todas estas são definidas para todo x\in\mathbb{R}; em particular não existe divisão por zero ou raiz de índice par com argumento negativo ou outro problema. Portanto f' está definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo
\text{Dom}(f')=\mathbb{R}.

Resposta

f'(x)=2x\,\ln(3e)\,(3e)^{x^{2}}=2x(1+\ln 3)(3e)^{x^{2}}\n
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\n
\text{Dom}(f')=\mathbb{R}

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