Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função e que eu identifique o domínio da função e o domínio da derivada. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
é o número
multiplicado pela constante de Euler
(logo
).
A potência tem expoente , que é uma função polinomial de
.
As perguntas são:
Calcular
.
Determinar o domínio de
.
Determinar o domínio de
.
A potência tem expoente
As perguntas são:
Passo 2
Vamos lembrar a regra que usamos aqui (essa é a “aula rápida” necessária). Se temos uma função da forma
onde
é uma constante e
é uma função diferenciável, então podemos reescrever
usando exponencial natural:
Derivando
pela regra da cadeia, obtemos a fórmula geral
Explicando cada pedaço:
-
é a própria função original; -
é o logaritmo natural da base (uma constante aqui); -
é a derivada do expoente com relação a ;
a multiplicação surge porque derivamos a composiçãoe usamos a derivada do expoente (regra da cadeia).
Passo 3
Identifico, no nosso caso, a constante e o expoente:
Agora calculo
. Usando a regra do poder (power rule): para
temos
. Aplicando com
,
(Um lembrete: a regra do poder é uma das mais básicas — derivada de
é
.)
Passo 4
Aplico a fórmula da derivada para
:
Posso escrever de forma mais limpa:
Também dá para simplificar o logaritmo usando
. Assim uma forma alternativa é
Ambas as formas são equivalentes; escolhe a que achar mais clara na prova.
Passo 5
Agora os domínios. Primeiro, o domínio de
. A função
é uma exponencial com base positiva
e expoente real
. Exponenciais
com
estão definidas para todo
. Como
pode assumir qualquer valor real não-negativo, e em geral o expoente é real, concluímos que
está definida para todo
. Logo
Passo 6
Domínio da derivada
. A expressão que encontramos para
é
Isto é produto de funções elementares:
(polinomial),
(constante) e
(exponencial). Todas estas são definidas para todo
; em particular não existe divisão por zero ou raiz de índice par com argumento negativo ou outro problema. Portanto
está definida para todo
. Logo