( 2 , 5 pts.) Utilizando integrais triplas com coordenadas esféricas, calcule o volume da casca esférica delimitada por 9 <= x^2+y^2+z^2 <= 25.
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Passo 1

O enunciado pede o volume da casca esférica definida por
9 <= x^2+y^2+z^2 <= 25
O conteúdo é integral tripla em coordenadas esféricas, onde usamos
x = rsinphicostheta,;y = rsinphisintheta,;z = rcosphi
e o elemento de volume
dV = r^2sinphi,dr,dphi,dtheta

Passo 2

Em coordenadas esféricas a região corresponde a
3 <= r <= 5, 0 <= phi <= pi, 0 <= theta <= 2pi
Assim o volume é dado por
V = integral0^2pi!integral0^pi!integral3^5 r^2sinphi ,dr,dphi,dtheta

Passo 3

Primeiro calculamos a parte angular:
integral0^2pi dtheta ;integral0^pi sinphi,dphi = 2pi ;l[-cosphir]0^pi = 2pi ;(2) = 4pi

Passo 4

Em seguida fazemos a integral radial:
integral3^5 r^2,dr = gl[r^33gr]3^5 = 5^3-3^33 = 125-273 = 983

Passo 5

Multiplicando a parte angular pelo resultado radial, obtemos
V = 4pi ;times;983 = 392pi3

Resposta

392pi3

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