Encontre a derivada (pela definição) das funções seguintes:
f(x)=x+1 / x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x+tfrac1x usando a definição de derivada. O conteúdo aqui é o conceito de limite do quociente incremental, ou seja,
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Pela definição de derivada, escrevemos
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Calculemos o incremento f(x+h)-f(x). Temos
f(x+h)=l(x+hr)+1x+h,
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f(x+h)-f(x) =l(x+h+tfrac1x+hr)-l(x+tfrac1xr) =h+l(tfrac1x+h-tfrac1xr)

Passo 4

Simplificamos a diferença de frações:
tfrac1x+h-tfrac1x =x-(x+h)x(x+h) =-hx(x+h)
Então
f(x+h)-f(x) =h-hx(x+h) =hl(1-tfrac1x(x+h)r)
Dividindo por h, o quociente incremental fica
f(x+h)-f(x)h =1-1x(x+h)

Passo 5

Tomando o limite quando hto0:
f'(x) =limhto0l(1-tfrac1x(x+h)r) =1-1x^2

Resposta

f'(x)=1-1x^2

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