Encontre a derivada direcional de f em P na direção do vetor u.
f(x, y, z)=4 x^5 y^2 z^3, P=(2,-1,1), u=(13, 23,-23).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=4x^5y^2z^3
no ponto P=(2,-1,1) na direção do vetor unitário
vec u=(tfrac13,tfrac23,-tfrac23).
O conteúdo é derivada direcional, que usamos via gradiente e produto escalar.

Passo 2

A fórmula da derivada direcional de f em P na direção de vec u é
Dvec uf(P)=nabla f(P)cdotvec u

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx= partialpartial x(4x^5y^2z^3)=20,x^4y^2z^3,
fy= partialpartial y(4x^5y^2z^3)=8,x^5y,z^3,
fz= partialpartial z(4x^5y^2z^3)=12,x^5y^2z^2

Passo 4

Avaliamos nabla f=(fx,fy,fz) em P=(2,-1,1):
fx(2,-1,1)=20cdot2^4cdot(-1)^2cdot1^3=20cdot16cdot1=320,
fy(2,-1,1)=8cdot2^5cdot(-1)cdot1^3=8cdot32cdot(-1)=-256,
fz(2,-1,1)=12cdot2^5cdot(-1)^2cdot1^2=12cdot32cdot1=384
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nabla f(2,-1,1)=(320,,-256,;384)

Passo 5

Fazendo o produto escalar
Dvec uf(P)=l(320,-256,384r)cdotl(tfrac13,tfrac23,-tfrac23r) =3203-5123-7683=320-512-7683=-320

Resposta

Dvec uf(2,-1,1)=-320

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