Seja f(x, y)=cos (x+2 y) e g(x, y)=1raizy+x^2
Determine o domínio e a imagem de g.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)=1raiz,y+x^2,
e pede o seu domínio e imagem. Para isso vamos usar (i) a condição de existência da raiz quadrada e (ii) o comportamento da função recíproca sobre valores positivos.

Passo 2

Para a expressão raizy+x^2 existir em R e não anular o denominador, o radicando deve ser estritamente positivo. Logo
y + x^2 > 0
e o domínio de g fica
D = (x,y)inR^2 mid y + x^2 > 0

Passo 3

Seja t = y + x^2. No domínio temos t>0, então raizt varia em (0,infty). A função h(t)=1/raizt
sobre tin(0,infty) também gera todos os valores positivos, pois:
  • Quando tto0^+, h(t)to+infty.
  • Quando tto+infty, h(t)to0^+.
Portanto a imagem de g é
Im(g) = (0,infty)

Resposta

Domínio: (x,y)inR^2mid y + x^2 > 0
Imagem: (0,infty)

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