Encontre a derivada direcional de f na direção do vetor indicado. f(x, y, z)=\ln (x y z)+y^{2} no ponto (8,1,2) e na direção de \vec{v}=\langle 1,5,2\rangle
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f no ponto dado e na direção do vetor indicado.
Dados fornecidos:
A função é f(x,y,z)=\ln(xyz)+y^{2}.
O ponto é (8,1,2).
O vetor direção é \vec{v}=\langle 1,5,2\rangle.
Passo 2
O que é a derivada direcional e como ela é calculada (fórmula que precisamos aplicar):
A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \vec{u}. Em fórmula:
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}.
Aqui:
\nabla f(P) é o vetor gradiente de f avaliado em P. Ele reúne as derivadas parciais de f em relação a x,y,z.
\vec{u} deve ser um vetor unitário (norma 1). Se você tem um vetor \vec{v} qualquer, primeiro normaliza: \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Explicando de forma bem tranquila: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e o produto escalar com \vec{u} projeta esse crescimento na direção escolhida.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f. É útil notar a identidade \ln(xyz)=\ln x+\ln y+\ln z, o que facilita derivar termo a termo.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\ln x+\ln y+\ln z + y^{2}\big)=\frac{1}{x}.
Explicação: \ln y, \ln z e y^{2} são constantes em relação a x, e \frac{d}{dx}\ln x=1/x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\ln x+\ln y+\ln z + y^{2}\big)=\frac{1}{y}+2y.
Explicação: \frac{d}{dy}\ln y=1/y e \frac{d}{dy}y^{2}=2y.
Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(\ln x+\ln y+\ln z + y^{2}\big)=\frac{1}{z}.