Encontre a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
f(x, y, z)=\ln (x y z)+y^{2} no ponto (8,1,2) e na direção de \vec{v}=\langle 1,5,2\rangle

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f no ponto dado e na direção do vetor indicado.
Dados fornecidos:
  • A função é f(x,y,z)=\ln(xyz)+y^{2}.
  • O ponto é (8,1,2).
  • O vetor direção é \vec{v}=\langle 1,5,2\rangle.

Passo 2

O que é a derivada direcional e como ela é calculada (fórmula que precisamos aplicar):
A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \vec{u}. Em fórmula:
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}.
Aqui:
  • \nabla f(P) é o vetor gradiente de f avaliado em P. Ele reúne as derivadas parciais de f em relação a x,y,z.
  • \vec{u} deve ser um vetor unitário (norma 1). Se você tem um vetor \vec{v} qualquer, primeiro normaliza: \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
    Explicando de forma bem tranquila: o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e o produto escalar com \vec{u} projeta esse crescimento na direção escolhida.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. É útil notar a identidade \ln(xyz)=\ln x+\ln y+\ln z, o que facilita derivar termo a termo.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\ln x+\ln y+\ln z + y^{2}\big)=\frac{1}{x}.
Explicação: \ln y, \ln z e y^{2} são constantes em relação a x, e \frac{d}{dx}\ln x=1/x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(\ln x+\ln y+\ln z + y^{2}\big)=\frac{1}{y}+2y.
Explicação: \frac{d}{dy}\ln y=1/y e \frac{d}{dy}y^{2}=2y.
  • Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(\ln x+\ln y+\ln z + y^{2}\big)=\frac{1}{z}.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y,z)=\Big\langle \frac{1}{x},\;\frac{1}{y}+2y,\;\frac{1}{z}\Big\rangle.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(8,1,2). Substituímos x=8, y=1, z=2:
  • \displaystyle \frac{1}{x}\Big|_{P}=\frac{1}{8}.
  • \displaystyle \frac{1}{y}+2y\Big|_{P}=\frac{1}{1}+2\cdot 1=1+2=3.
  • \displaystyle \frac{1}{z}\Big|_{P}=\frac{1}{2}.
Logo
\nabla f(8,1,2)=\Big\langle \frac{1}{8},\;3,\;\frac{1}{2}\Big\rangle.

Passo 5

Normalizar o vetor direção \vec{v}=\langle 1,5,2\rangle para obter o vetor unitário \vec{u}. Primeiro calculamos a norma:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+5^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+25+4}=\sqrt{30}.
Então o vetor unitário é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\Big\langle \frac{1}{\sqrt{30}},\;\frac{5}{\sqrt{30}},\;\frac{2}{\sqrt{30}}\Big\rangle.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional: produto escalar entre \nabla f(8,1,2) e \vec{u}.
D_{\vec{u}}f(8,1,2)=\nabla f(8,1,2)\cdot \vec{u} =\Big\langle \frac{1}{8},\;3,\;\frac{1}{2}\Big\rangle\cdot \Big\langle \frac{1}{\sqrt{30}},\;\frac{5}{\sqrt{30}},\;\frac{2}{\sqrt{30}}\Big\rangle.
Calcule termo a termo:
D_{\vec{u}}f(8,1,2)=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{\sqrt{30}}+3\cdot\frac{5}{\sqrt{30}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{30}}.
Simplificando cada parcela:
  • \displaystyle \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{\sqrt{30}}=\frac{1}{8\sqrt{30}}.
  • \displaystyle 3\cdot\frac{5}{\sqrt{30}}=\frac{15}{\sqrt{30}}.
  • \displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{30}}.
Somando as frações com denominador comum \sqrt{30}:
\frac{1}{8\sqrt{30}}+\frac{15}{\sqrt{30}}+\frac{1}{\sqrt{30}} =\frac{1}{8\sqrt{30}}+\frac{16}{\sqrt{30}}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{16}{\sqrt{30}}=\frac{128}{8\sqrt{30}},
então
\frac{1}{8\sqrt{30}}+\frac{128}{8\sqrt{30}}=\frac{129}{8\sqrt{30}}.

Resposta

\dfrac{129}{8\sqrt{30}}

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