Encontre a derivada direcional de
na direção do vetor indicado.
no ponto
e na direção de
Passo 1
O que o problema pede e quais dados ele dá:
- Pede: a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor . - Dados do enunciado:
ponto e vetor direção .
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
- A derivada direcional de
em um ponto na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente de e : Aqui (lê-se "gradiente de ") é o vetor formado pelas derivadas parciais de : onde é a derivada parcial de em relação a (mantendo fixos), é a derivada parcial em relação a e em relação a . - Importante: a direção usada na fórmula deve ser um vetor unitário (norma 1). Se o enunciado fornece um vetor
qualquer, primeiro normalizamos para obter . - Vamos, portanto, (i) calcular
, (ii) avaliar em , (iii) obter o vetor unitário na direção de e (iv) calcular o produto escalar.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (aulas rápidas sobre as regras usadas):
-
. A derivada parcial em relação a : a exponencial não depende de , e tem derivada em relação a . Logo Explicação: derivada de em relação a é porque tratamos como constante. - A derivada parcial em relação a
: usamos a regra da cadeia para . Se (aqui é tratado como constante), então com . Além disso, . Assim - A derivada parcial em relação a
: novamente regra da cadeia para . Agora tem . E não depende de . Então
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
:
- Calculamos primeiro
no ponto: Então . - Agora as componentes:
- Logo
Passo 5
Normalizar o vetor direção
:
- Norma de
: - Vetor unitário na direção de
: - Explicação curta: precisamos desse
porque a fórmula da derivada direcional exige uma direção de comprimento 1; caso contrário o resultado dependeria do comprimento de .
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar:
- Fórmula aplicada:
- Escrevendo o produto:
- Calcule termo a termo:
- Somando os três termos:
(os positivos e negativos se cancelam; os termos com somam .)