Encontre a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
f(x, y, z)=e^{y^{2}-z^{2}}+x y no ponto (2,3,4) e na direção de \vec{v}=\langle 2,-3,6\rangle

Passo 1

O que o problema pede e quais dados ele dá:
  • Pede: a derivada direcional de f no ponto (2,3,4) na direção do vetor \vec{v}=\langle 2,-3,6\rangle.
  • Dados do enunciado: f(x,y,z)=e^{y^{2}-z^{2}}+x y,ponto (2,3,4) e vetor direção \vec{v}=\langle 2,-3,6\rangle.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):
  • A derivada direcional de f em um ponto na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f e \mathbf{u}: D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}.Aqui \nabla f (lê-se "gradiente de f") é o vetor formado pelas derivadas parciais de f: \nabla f=(f_x,f_y,f_z),onde f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y,z fixos), f_y é a derivada parcial em relação a y e f_z em relação a z.
  • Importante: a direção usada na fórmula deve ser um vetor unitário (norma 1). Se o enunciado fornece um vetor \vec{v} qualquer, primeiro normalizamos para obter \mathbf{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
  • Vamos, portanto, (i) calcular \nabla f, (ii) avaliar \nabla f em (2,3,4), (iii) obter o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \vec v e (iv) calcular o produto escalar.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (aulas rápidas sobre as regras usadas):
  • f(x,y,z)=e^{y^{2}-z^{2}}+x y. A derivada parcial em relação a x: a exponencial não depende de x, e xy tem derivada y em relação a x. Logo f_x=y.Explicação: derivada de x y em relação a x é y porque tratamos y como constante.
  • A derivada parcial em relação a y: usamos a regra da cadeia para e^{y^{2}-z^{2}}. Se g(y)=y^{2}-z^{2} (aqui z é tratado como constante), então \frac{d}{dy}e^{g(y)}=e^{g(y)}\cdot g'(y) com g'(y)=2y. Além disso, \partial (xy)/\partial y = x. Assim f_y=2y\,e^{y^{2}-z^{2}}+x.
  • A derivada parcial em relação a z: novamente regra da cadeia para e^{y^{2}-z^{2}}. Agora g(z)=y^{2}-z^{2} tem g'(z)=-2z. E xy não depende de z. Então f_z=-2z\,e^{y^{2}-z^{2}}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (2,3,4):
  • Calculamos primeiro y^{2}-z^{2} no ponto: y^{2}-z^{2}=3^{2}-4^{2}=9-16=-7.Então e^{y^{2}-z^{2}}=e^{-7}.
  • Agora as componentes: f_x(2,3,4)=y=3,
f_y(2,3,4)=2\cdot 3\cdot e^{-7}+x=6e^{-7}+2,
f_z(2,3,4)=-2\cdot 4\cdot e^{-7}=-8e^{-7}.
  • Logo \nabla f(2,3,4)=\langle 3,\;6e^{-7}+2,\;-8e^{-7}\rangle.

Passo 5

Normalizar o vetor direção \vec v:
  • Norma de \vec v=\langle 2,-3,6\rangle: \|\vec v\|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7.
  • Vetor unitário na direção de \vec v: \mathbf{u}=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Big\langle \frac{2}{7},\;-\frac{3}{7},\;\frac{6}{7}\Big\rangle.
  • Explicação curta: precisamos desse \mathbf{u} porque a fórmula da derivada direcional exige uma direção de comprimento 1; caso contrário o resultado dependeria do comprimento de \vec v.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
  • Fórmula aplicada: D_{\mathbf{u}}f(2,3,4)=\nabla f(2,3,4)\cdot \mathbf{u}.
  • Escrevendo o produto: D_{\mathbf{u}}f(2,3,4) =3\cdot\frac{2}{7}+\big(6e^{-7}+2\big)\cdot\Big(-\frac{3}{7}\Big)+\big(-8e^{-7}\big)\cdot\frac{6}{7}.
  • Calcule termo a termo: 3\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{7},
\big(6e^{-7}+2\big)\cdot\Big(-\frac{3}{7}\Big)=-\frac{18e^{-7}}{7}-\frac{6}{7},
(-8e^{-7})\cdot\frac{6}{7}=-\frac{48e^{-7}}{7}.
  • Somando os três termos: \frac{6}{7}-\frac{6}{7}-\frac{18e^{-7}}{7}-\frac{48e^{-7}}{7} = -\frac{66e^{-7}}{7}.(os \frac{6}{7} positivos e negativos se cancelam; os termos com e^{-7} somam -18-48=-66.)

Resposta

-\dfrac{66}{7}e^{-7}

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