Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a:
f(x, y)=9 x^3-2 y^3 ; P(1,0) ; a=i-j

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor nos mostra a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = 27x^2 e partial fpartial y = -6y^2 :
nabla f = ( 27x^2, -6y^2 )
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(1, 0) = ( 27(1)^2, -6(0)^2 ) = (27, 0) :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção | a | = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2 . A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção. A norma de u = ( 1raiz2, -1raiz2 ) é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Du f = nabla f cdot u
Substituindo os valores que temos:
Du f = (27, 0) cdot ( 1raiz2, -1raiz2 ) = 27 cdot 1raiz2 + 0 cdot -1raiz2 = 27raiz2

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

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