Encontre a derivada direcional de
em P na direção de a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e normalizar o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor nos mostra a taxa de variação da função nessa direção específica. Para calcular isso, usamos o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção
. A normalização transforma o vetor em um vetor unitário na mesma direção. A norma de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
.